8.2 一元线性回归模型及其应用（五大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

学利购 学科网原创，让学司更会！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 8.2一元线性回归模型及其应用 【题型归纳目录】 题型一：求回归直线方程 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 题型三：线性回归分析 题型四：残差分析与相关指数的应用 题型五：非线性回归分析 【知识点梳理】 1、一元线性回归模型 我们称y=r+a+e E何)=0，D回=o为Y关于x的一元线性回归模型，其中y称为因变量或响应变量，x称为自 变量或解释变量：a和b为模型的末知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数：e是Y与br+a之间的随机 误差. 2、线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心（民，），是回归直线方程最常用的一个特征 我们将)=r+à称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验 回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,à叫做b,α的最小二乘估计 (leastsquaresestimate ) 2x-y-列 ∑xy- b= 其中 2- d=y-bx. 3、残差的概念 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的)称为预测值，观测值减 去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判 断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。 4、刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好， (2)残差平方和法 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 我差平方和∑，-，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残我差平方和越大，模型拟合效果越差 (3)利用R刻画回归效果 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力， 2(y-划月 R2=1回 R越大，即拟合效果越好，R越小，模型拟合效果越差， 2%-列 【典型例题】 题型一：求回归直线方程 例1.(2023四川成都高二校考期末)某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示，据此估计 2022年该城市人口总数 (单位十万).（参考数据和公式：6=3.2，ā=下-b) 年份2017+x(年) 0 人口数y(十万) 19 【答案】19.6 【解折】由题可得x=0+1+2+3+4=2,下=5+7+8+1+19=10， 5 5 又6=3.2， .a=y-bm=10-2×3.2=3.6, 故y关于x的线性回归方程为立=3.2.x+3.6, 当x=5时，少=3.2×5+3.6=19.6 故答案为：19.6 例2.(2023高三课时练习)某实验室对小白鼠体内x、y两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两 项指标数据如下表： 120 110 125 130 115 92 83 90 96 89 已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为旷=x+6.若下一次实验中 x=170,利用该回归直线方程预测得少=117，则a的值为 【答案】0.54 【解析】已知y与x具有线性相关关系，且直线方程为=r+6过样本中心值(：习)， 又=120+10+125+130+15)=120，了=写92+83+90+96+89)=90. 2 人、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科四 学科网原创，让学司更会易！ WWW.ZXX JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 所以90=120à+b①， 又实验中x=170,预测得少=117，所以117=170à+6②， 联立①②解得：à=0.54,6=25.2 故答案为：0.54 例3.(2023上海·高三专题练习)己知由样本数据x,y,)(=1,2,3,·,10)组成的一个样本，得到回归直线方 程为=2x-0,4,且x=2,其中发现两个歧义点(-2,1)和(2，-)偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直 线的斜率为3，则新的回归直线方程为 【答案】户=3x-3 【解析】因为户=2x-0.4,且x=2, 所以可=2×2-0.4=3.6， 去除两个歧义点(-2,1)和(2.-)后新的平均数为： x=2×10-5,7=3.6×10_ 82 ,又新的回归直线的斜率为3， 8 2 =-3 2 所以新的回归直线方程为=3r-3 故答案为：=3x-3 变式1.(2023高三课时练习)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得表数据， 6 10 3 6 请根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程：一 【答案】y=0