3.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年七年级下册初一数学同步备课（湘教版）

3.3 公式法 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 优翼七下数学教学课件（XJ） 优翼 复习引入 1. 什么叫因式分解？ 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ ① 提公因式法 ② 平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 导入新课 用完全平方公式分解因式 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 拼出的图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 新课讲授 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = a b a b a² ab ab b² (a + b)2 a2 + 2ab + b2 = 将上面的等式逆过来看，能得到： a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方 是第一项和第三项底数的积的±2 倍 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式（或可以看成三项的）； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有上述两底数之积的±2 倍. 完全平方式： 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± = (a ± b)² a2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2· ( ) ·( )+ ( )² = ( )². 2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2· ( ) ·( )+( )² = ( )²； 1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( )+( )² = ( )²； x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²，填空： m m - 3 3 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项 - 6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9. 变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. 解析：∵ 16 = ( ±4 )2，∴ - m = 2×( ±4 )，即 m = ±8. ±8 典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值．计算过程中，要注意积的 2 倍的符号正负皆可取，避免漏解． 例2 因式分解： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 2 a b b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy + 4y2)，然后再利用公式因式分解. 解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x + 3 )2. = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3