重难点01平面向量的实际应用与新定义-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（人教A版2019必修第二册）

重难点01平面向量的实际应用与新定义 目录 题型一：用向量证明线段垂直 题型二：用向量解决夹角问题 题型三：用向量解决线段的长度问题 题型四：向量与几何最值 题型五：向量在物理中的应用 题型六：向量中的新定义 ( 能力拓展 ) 题型一：用向量证明线段垂直 一、单选题 1．（2022春·宁夏银川·高一银川一中校考期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 2．（2022春·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 3．（2021春·云南大理·高一校考阶段练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 二、多选题 4．（2022·高一课时练习）点O在△所在的平面内，则以下说法正确的是（    ） A．已知平面向量满足，且，则△是等边三角形 B．若，则点O为△的重心 C．若，则点O为△的外心； D．若，则点O为△的垂心 5．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期中）给出下列命题，其中正确的选项有（    ） A．若非零向量满足，则与共线且同向 B．若非零向量满足，则与的夹角为30° C．若单位向量的夹角为60°，则当取最小值时，t＝1 D．在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形 三、填空题 6．（2021春·福建福州·高一福建省连江华侨中学校考期中）、分别是复数，在复平面内对应的点，是原点，若，则△一定是_________三角形． 四、解答题 7．（2022春·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 8．（2021春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 9．（2021春·江苏无锡·高一辅仁高中校考阶段练习）数学探究：用向量法研究三角形的性质．向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义．向量运算与几何图形性质的内在联系，使我们自然想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、便捷呢？在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度审视研究对象，而且还可以有所发现．三角形是几何中最简单的封闭图形，但它是最重要的基本几何图形之一．三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带．在平面几何中，我们已经研究过三角形的一些基本性质，但对三角形的认识还不够深入，例如对三角形的外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等只有初步认识．因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的． （1）①叙述余弦定理，并用向量的方法证明余弦定理；②直接写出余弦定理的向量表示（用，表示）． （2）中，分别是的中点，O是重心，证明：对任意一点P，向量与共线． （3）我们知道，三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，请你从下面两个问题中任选一个并解答（注：如果选择两个，则按第一个解答计分）①用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点．如图①所示，中，设边上的高交于点H，求证：边上的高过点H；②用向量方法证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，的三边的中点分别为和边上的垂直平分线交于点O，求证：边上的垂直平分线过点O． 10．（2023·高一单元测试）已知O为的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H． （1）若，，，，试用，、表示； （2）证明：； （3）若，，外接圆的半径为，用表示． 11．（2022春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知中，的对边分别为且. （1）判断的形状，并求的取值范围； （2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，，若直线直线 ，且相交于点，求，间距离的取值范围. 12．（2022春·浙江温州·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，． （1）求的值； （2）用，表示和； （3）证明：． 13．（2023·高一课时练习）如图，在中，BC、CA、AB的长分别为. （1）求证：； （2）若，试证明为直角三角形. 题型二：用向量解决夹角问题 一、单选题 1．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）在中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·高一课时练习）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022春·安徽合肥·高一校考期中）已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（       ）