6.2.4组合数课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版2019必修第三册 0 6.2.4组合 数 高 数 政 知报效 复习引入 排列定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列， 组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素并成一组，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点：排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关： 复习引入 排列数的概念与公式：我们把从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，用符号A"表示 其公式为： =n(n-1)(n-2) (n-m+1) 问题：能否通过类比得出组合数的概念呢？ 符专中的C是英文 combination 组合数： (组合)的第一个字母.组合数还 可以用符号表示 从n个不同元素中取出(n)个元素的所有不同组合的个数，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. 取出元素数 m,n所满足的条件是： 元素总数 (1)m∈N,neW 组合的第一个字母 (2)1n≤1. 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为C. 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为C:. 组合数是一个正整数 组合与组合数的区别： “一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成 一组”，它不是一个数； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同组合的个数”，它是一个非零自然数。 探究前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由 排列数A"来求组合数C"呢？ 思考：C?=3,C=4 3个不同元素4，b,c中取出2个共有ab,aC,bc3个不同的组合， 即C=3. 3个不同元素4，五，c中取出2个元素的排列数为A}=3×2=6. 4个不同元素4，b,c,中取出3个共有abc,abd,acd,bcd4个不同的组合， 即C=4. 4个不同元素4，b,c,d中取出3个元素的排列数为A=4×3×2=24. 下面我们就来探究C与A,C与A的关系. 环节二：问题探究， 导出公式 问题1：组合数C?等于多少呢？ 组合 元素相同 顺序不同，两组合相同 排列 元素相同 顺序也相同，两排列才相同 从甲、乙、丙3个元素中取出2个元素 组合 甲乙 甲丙 乙丙 2 排列 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 42 乙丙，丙乙 环节二：问题探究，导出公式 问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C=? 分析：类比求C?的过程，假设这4个元素分别为a,b,c,d,从中取出3 个元素的排列数为A?=24,分别为以下情况： a,b,c a,b,c b,a,c c,a,b a,c,b b,c,a c,b,a a,b,d a,b,d b,a,d d,a b,d,a d,b,a a,c,d a,c,d c,a,d d. 二4 c,d,a d,c,a b,c,d b,c,d c,b,d d.b.c b.d.c c.d.b d,c,b 第一步”第二步 （取出）（排序） 有a，b，c|a，b，cb，a，cⅳC，a，ba，c，bⅳb，c，aⅳc，b，a」，有 种a，b，d-「a，b，dⅳb，a，dⅳd，a，b-a，d，bⅳb，d，ad，b，a|种种 组个 同a.c.d]一「a，c，d-c，a，dⅳd，a，ca，d，c-c，d，a-d，c，a合同 的“ 组┌ 根据分步乘法的计数原理，有A]=C；-A}，∴C=A 环节二：问题探究，导出公式 问题3：如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？ 求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下 两个步骤得到： 第1步：从n个不同元素中取出m个元素作为一组，有Cm种不同的组合； 第2步：将取出的m个元素作全排列，有A:种不同的排列； 最后， 根据分布乘法计数原理有A:=Cm·Am