7.3 离散型随机变量的数字特征（六大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

令学利科购 学科网原到，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.3离散型随机变量的数字特征 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 趣型二：离散型随机变量均值的性质 题型三：离散型随机变量均值的应用 题型四：求离散型随机变量的方差 题型五：方差的性质的应用 题型六：均值与方差的综合应用 【知识点梳理】 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X 的分布列为 X x x x P B Pa P p 则称E(X)=,B+x,P,+…+xP,+…x,P,=∑xp为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机 变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平， 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p: 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X=x)=P,i=1,2…,n 一般地，下面的结论成立：E(aX+b)=aE(X)+b. 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x Xo P B P P P 考虑X 所有可能。 取值x 与 E(X)的偏差 的平方 (:-E(X)(x-E(X),,x,-E(X),因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用 偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我 们称 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利科购 李科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 D(X)=-E(X)p,+(x-E(X)P+…+x.-E(X)p.=∑(x-E(X)川p,为随 机变量X的方差，有时也记为V(X),并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为o(X). 5、几个常见的结论 (1)D(aX+b)=a2D(X). (2)若X服从两点分布，则D(X)=p1-P) 【典型例题】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 【方法技巧与总结】 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2) 计算出PCX=k):(3)写出分布列；(4)利用ECX)的计算公式计算E(X). 例1.(2023春河南洛阳高三栾川县第一高级中学校考开学考试)某市有A,B,C,D四个景 点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概车为行，游览8，C,D的概率都是，且 该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X表示该游客游览的景点个数，错误的 是() A.该游客至多游览一个景点的概率为} B.P(X=2)= C.P(X=4)=24 13 D.E(X)= 6 【答案】C 【解析】X的所有可能取值为0,1,2,3,4， 则x=0(云 x--号--引c- 所以该游客至多指室一个景点的餐车为PX=0)+PX=-文名一子故A正瑰 x=2)-子G兮1+-引cG周是故B正确 PX=4到=子)=故C错误 又x=-c8l--引c周 所以E(X)=0× +1+2xg3 7 4x1、13 ,故D正确， 24 24 126 2 以原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 故选：C, 例2.(2023秋上海·高二上海交大附中校考期末)设0<a≤b,随机变量X的分布是 (124 a b a+b 则E(X)的取值范围是() A( 【答案】B a+b+a+b)=1 0<a<1 【解析】根据分布列的性质可知： ,结合题干条件0<a≤b可解得： 0<b<1 0<a+b<1 0<a≤-sb< 而EX)=小a+2-b+4-a+b)=5a+60=5a+b)+b=+b,于是 4 E()4 故选：B 例3.(2023浙江温州统考模拟预测)一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白 球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2 分，则小明总得分的数学期望等于() A.3.8分 B.4分 C.42分 D.44分 【答案】C 【解析】由题意的取值是3,4,5， 司是0e0答合g答君 BG-3x04 +5×2-2=42. 10 1010 故选：C 93 B.37 c. 39 D. 211 4 4 20 【答案】B 【解析】记李明这3道题得分为随机变量X,则X的取值为0,5,10,15， PX=5)=C,x××+ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 Px=10=