7.4 二项分布与超几何分布（六大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

令学利科购 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.4二项分布与超几何分布 【趣型归纳目录】 题型一：n重伯努利试验的判断 题型二：n重伯努利试验概率的求法 题型三：二项分布的均值与方差 题型四：利用超几何分布的公式求概案 题型五：超几何分布的分布列 题型六：超几何分布的综合应用 【知识点梳理】 知识点一，次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验。 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行：②各次试验是相互独立的：③每次试验 都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生。 2、特点 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的： (2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例. 知识点二.二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P, 不发生的概率g=1-p,那么事件A恰好发生k次的概率是P(X=)=Cpg*(素=0,1,2，.，) 于是得到X的分布列 X 0 1 们 C"p"q" Cpg C。p'g- Cp"q" 由于表中第二行恰好是二项式展开式 (q+p)”=Cpg”+Cpq+…+C。pg-++Cpq°各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n,P),并称p为成功概率。 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即”=1时的二项分布，所以二 项分布可以看成是两点分布的一般形式， 2、二项分布的适用范围及本质 (1)适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的： ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数， (2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的。 3、二项分布的期望、方差 若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=p1-p). 知识点三.超几何分布 1、定义 在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则事件{X=k发生的概率为 AX=利=CC生，k=0,1,2,,m,其中m=mM,,且SN,MSN,力M,N∈N ,称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布， X 0 1 101 P Cy.C C.C CUCN CN C CN 2、超几何分布的适用范围件及本质 (1)适用范围： ①考察对象分两类： ②己知各类对象的个数： ③从中抽取若干个个体，考察莱茱类个体个数Y的概率分布， (2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的. 【方法技巧与总结】 超几何分布和二项分布的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； (2)超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的： 而二项分布是“有放回“抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 【典型例题】 题型一：n重伯努利试验的判断 【方法技巧与总结】 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行， (2)每次试验的结果相互独立，互不影响. 例1.(2023全国高二专题练习)下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两 运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标"与“甲 、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标其中是伯努利试验的是() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.① B.② C.③ D.4 【答案】D 【解析】 ①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件： ②是相互独立事件： ④是独立重复试验： 所以只有④符合题意， 故选：D 例2.（多选题）(2023·全国·高二课时练习)（多选）下列事件不是n重伯努利试验的是() A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环 B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环 C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【答案】ABC 【解析】 AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验： B是相互独立事件，但是“甲射中10环"与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是独立重复试验： D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验