专题10 一元线性回归模型及其应用-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题10 一元线性回归模型及其应用 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：一元线性回归模型 考点二：求经验回归方程 考点三：利用经验回归方程进行预测 考点四：残差与残差分析 考点五：残差平方和与决定系数R2 考点六：对数回归模型y＝c1＋c2ln x 提 升 难点一：回归方程的实际应用 难点二：非线性经验回归问题 难点三：回归方程的综合应用 难点四：生活热点回归类型 难点五：综合回归类型 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 1．一元线性回归模型 以儿子身高与父亲身高间的关系为例：由散点图我们知道儿子身高与父亲身高这两个变量之间具有较强的线性相关关系，用x表示父亲身高，用Y表示儿子身高，e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为我们称此式为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差. 2．最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中＝， ＝－. 3．残差与残差分析 (1)残差:对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. (2)残差分析:残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 4．对模型刻画数据效果的分析 (1)残差图法:在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系。 (2)残差平方和法:残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好。 (3)R2法:可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 【技巧复习】 1.在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 2.如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 3.求经验回归方程的一般步骤： (1)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系. (2)计算，，x，xiyi. (3)代入公式计算，的值. (4)写出经验回归方程. 4.求经验回归方程时，经常遇到x，y的数字过大，直接求解和的值时，易出现错误.为了减少计算出错的风险，我们可以对给定的数据进行预处理，从而减少运算量，降低出错的概率. (1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图. (2)求经验回归方程，注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式求. (3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差. 5.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高.残差是随机误差的估计值，i＝yi－i. 6.刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适. (2)残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好. (3)决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好. 7.对数函数模型y＝c1＋c2ln x的求法 (1)确定变量，作出散点图. (2)根据散点图，做出y＝c1＋c2ln x的函数选择. (3)变量置换，令z＝ln x，通过变量置换把问题转化为＝1＋2z的经验回归问题，并求出经验回归方程＝1＋2z. (4)根据相应的变换，写出＝1＋2ln x的经验回归方程. 二、巩固 【考点一】一元线性回归模型 【典例】若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　) A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 【解析】因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3， 所以Y＝0.7x＋3＋e. 当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5， 所以9.5≤Y≤10.5， 所以年支出预计不会超过10.5亿元. 【变