9.5 三角形的中位线（培优分阶练）-2022-2023学年八年级数学下册课后培优分级练（苏科版）

9.5 三角形的中位线 ( 知识清单 ) 三角形的中位线定理： 1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） 2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。 ( 课后培优练 级练 ) 培优第一阶——基础过关练 1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可． 【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，∵，∴E为CD的中点，（三线合一） 又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 2．（2022·江苏淮安市·八年级期中）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（　　） A．不是平行四边形 B．不是中心对称图形 C．一定是中心对称图形 D．当AC＝BD时，它为矩形 【答案】C 【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=AC，EH=FG=BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可． 【详解】连接AC，BD，如图： ∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误； ∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故选项B错误； 当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形， 当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，故选项D错误； ∴四边形EFGH可能是轴对称图形，∴四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理． 3．（2022·张家港市初三期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为的中点．若的周长为18，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【解析】解：∵四边形是正方形，∴，，． 在中，为的中点，∴． ∵的周长为18，，∴，∴． 在中，根据勾股定理，得，∴， ∴．在中，∵，为的中点， 又∵为的中位线，∴．故答案为. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 4．（2022·山东东营市·八年级期末）如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____． 【答案】 【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案． 【详解】解：探究规律： AB=8，BC=6，AC=7， 分别为的中点， 同理： 总结规律： 运用规律：当时，故答案为： 【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 5．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得． 【详解】证明：取的中点，连接， ∵是边的中线，∴是边的中点，∴，． ∴，．∵是的中点，∴， 在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 6．（2022·江苏淮安市·八年级期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）. （1）四边形EFGH的形状是 _____________ ，（证明你的结论. ） （2）当四边形ABCD的对角线满足 __________条件时，四边形EFGH是矩形(不用证明) 【答案】（1）平行四边形；证明见解析（2）AC⊥BD 【分析】(1)连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD