9.4 矩形、菱形、正方形（培优分阶练）-2022-2023学年八年级数学下册课后培优分级练（苏科版）

9.4 矩形、菱形、正方形 ( 知识清单 ) 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形： 1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC 2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD） 矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°； 2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°； 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。 菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形： 1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD 2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分， 即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD， 菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等 2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分 4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形： 1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC 2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO 4）对称性：轴对称图形；中线对称图形 正方形是特殊的平行四边形、矩形、正方形，常见的判定思路为 ： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等； 2）判定方法2（从正方形出发）：正方形+1个90°角，或正方形+对角线相等； 3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直； 4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等。 ( 课后培优练 级练 ) 培优第一阶——基础过关练 1．（2022.绵阳市初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是（ ） A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形 【答案】A 【分析】根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐项进行判断即可． 【解析】解：点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD＜15°时，四边形AFCE为平行四边形， 当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，当15°＜∠EOD＜75°时，四边形AFCE为平行四边形， 当∠EOD=75°时，∠AEF=90°，四边形AFCE为矩形，当75°＜∠EOD＜105°时，四边形AFCE为平行四边形，故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力． 2．（2022·四川·成都九年级期中）下列判断正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意； B、对角线相等的菱形是正方形，