湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2022-2023学年高二上学期12月月考试数学试题

2022-2023学年上学期12月检测试题 高二数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知正三棱柱，为棱上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3. 若直线：与直线：（）互相垂直，则（    ） A． B． C．12 D． 4. 已知圆，则的最大值为（ ） A．4 B．13 C． D． 5. 已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6. 命题甲：动点到两个定点的距离之和常数；命题乙：点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共20分） 9. 已知直线，则该直线（    ） A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为 D．在x轴上的截距为 10. 已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．若，则圆与圆相交 B．若，则圆与圆外离 C．若直线与圆相交，则 D．若直线与圆相交于，两点，则 11. 如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（       ） A． B． C．平面平面 D．被球截得的弦长为1 12. 如图所示，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（    ） 1. A．E的方程为 B． C．若AD，BC的斜率分别为，，则 D．若AD，BC的倾斜角分别为，，则的最大值为 三、填空题（共20分） 13. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______. 14. 若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______. 15. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为 . 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18至22题为12分） 17. 已知的顶点，直角顶点为，顶点在y轴上； （1）求顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 18. 已知：双曲线. （1）求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率； （2）若一条双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程. 19. 已知正方体中，分别为棱的中点. （1）求证；四点共面； （2）求二面角的余弦值. 20. 已知四棱锥中，平面，，，点在棱上，平面． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 21. 已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值. 22. 已知抛物线：，点在抛物线上. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若直线：交抛物线于M､N两点，交直线：于点P，记直线AM，AP，AN的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 参考答案 1-8 CCBCDBAC 9. AB 10.AC 11.ABD 12.AD 13. 14. 或 15. 16. 或 17. (1)设点，由题意： ，所以 解得，所以点 (2)因为的斜边的中点为圆心边， 所以圆心的坐标为， ， 所以圆心的方程为 18. 双曲线 ，所以，， 双曲线的焦点坐标，，顶点坐标，，离心率． （2）设所求双曲线的方程为：， 将代入上式得：，解得： 所求双曲线的方程为：． 19. 解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2， （1）因为，，，， 所以，， 所以，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以四点共面； （2）， 设平面的法向量分别为，则 ，即，取得， 同理可得，平面的法向量， 所以， 由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 20. （1）过作的平行线交于点，连接， 又，则，则四点共面， ∵面，面，面面， ∴，故为平行四边形，从而， ∴，分别