6.3.2-6.3.4平面向量正交分解、加减、数乘运算的坐标表示 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

朝阳区课程资源·高一下数学第7课时 第六章平面向量及其应用 6.3.2-6.3.4平面向量加 减、数乘运算的坐标表示 前测：1、已知向量AB=a+36,BC=5a+36,CD=-3a+36,则() A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线 C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线 2、如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点， 那么EF=() D A而-而西+而c}西+而西-号0 3 3、如图所示，矩形ABCD中，BC=5e,DC=3e2,则OC等于() 25g+3e)B5g-)c36-5Dsg-g) 课前测1.B2.D3.A 知识回顾：1、共线定理？2、平面向量基本定理？ 1、平面向量基本定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数元，使b=元a. 2、平面向量基本定理 如果e、e,是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数入、元，使a=2e+入e,·我们把不共线向量{g,e,}叫做这一平 面内所有向量的一组基底. 【问题1】如图，重力G可以分解成互相垂直的两个力F,F,.给定一个向量如何分解为互 相垂直的两个向量，这种分解是唯一的吗？ e e 把一个向量分解为两个 叫做向量的 【追问1】直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.如何表示直 角坐标平面内的一个向量呢？ 在直角坐标系内，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取i,}作为基底。 对于平面内任意的向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y使得 这样，平面内的任意向量a都可由 唯一确定.我们把有序数对 叫做向量 a的坐标，记作 ,其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐 标， 叫做向量的坐标表示.显然 i 。j 0= 【问题2】如图，点?的坐标与向量a的坐标有什么联系? 在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定。 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量OA的坐标 由OA=a，终点A的坐标就是向量a的坐标y|……4(x，y)∠ 注。相等向量坐标相同，与向量所在位置无关． 【问题3】根据向量坐标表示的定义，已知向量4=(x,y),向量b=(x2,y2),你能推导出 a+b,a-b,入a的坐标吗？ 在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{，j}作 为一组正交分解的基底，则向量a可以分解为a=xi+yj, 同理，向量b的坐标为(x2,y2),即向量b可由与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i 向量和j向量表示为b=xi+y2j 向量a=(G,乃)，向量b=(化2，乃2人则a+b=；a-b= 入a= 【追问1】如图，己知向量AB,A(x,y),B(x2,y2),怎样用A(x,y),B(x2,y2)的坐标 表示出B的坐标吗？ AK,月) AB=OB-OA=x2i+y2j-(xi+yj)=(x2-x)i+(y2-y)j. B2,) 0 所以AB=（2-x,2一) 结论1任意向量坐标终点坐标-起点坐标 运用向量的减法获得向量用起点和终点来进行坐标化表示的结论.向量的坐标只与起 点、终点的相对位置有关，而与向量所在的位置无关：当一个向量确定以后，向量的坐标 就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；对于求向量坐标转化为确定起点和 终点坐标 【例1】如图，己知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1)，(-1,3)，(3,4， 试求顶点D的坐标. 解法1：设顶点D坐标为x,y 因为AB=(-1-(-2)3-1)=1,2；DC=(3-x,4-y) -2-10 1234 所以(1,2=(3-x,4-y 图6.3-13 1=3-x x=2 即 2=4-少解得 y=2 解法2：由向量加法的平行四边形法则可知 所以顶点D的坐标为2,2). BD=BA+BC=(-2-(-1),1-3)+(3-（-1,4-3)=(3,-1 建立方程组思想 OD=OB+BD=（-1,3+(3,-1=(2,2) 所以顶点D的坐标为(2,2)， 【问题4】设a=(x,y),b=(x2,2)(其中b≠0)，如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 向量a,b共线的充要条件是存在唯一实数入，使a=入b,用坐标表示为 ,)=元(2)即 =,得到-x,=0. y=Av2 当x2=0时，由方程x=入x2得，x=x2=0,此时，条件x2-x2y=0成立 当2=0时，由方程y=九y2得，y=2=0,此时，条件xy2一x2y=0仍然成立 这就是说，向量a,b(b≠0)共线的充要条件是xy2-x2片=0. 结论2向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(其