专题11 空间角的计算（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）

11 空间角的计算 目录 ☆【题型一】线线角：两条异面直线所成的角 1 ☆【题型二】求两条异面直线所成的角的余弦值 1 ☆【题型三】线面角：直线与平面所成的角 2 ☆【题型四】求直线与平面所成的角的正弦值 2 ☆【题型五】求直线与平面所成的角的余弦值 2 ☆【题型六】面面角：二面角 2 ☆【题型七】求二面角的余弦值 3 ☆【题型一】线线角：两条异面直线所成的角 【例题】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角的大小． 【变式训练】 1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为(　　) A. B. C. D. 2．如图，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1，若平面ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大小为______． ☆【题型二】求两条异面直线所成的角的余弦值 【例题】如图，在正方体中，点，分别在，上，且，，求与所成的角的余弦值． 【变式训练】 1．如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB, ∠O1OB＝60°， ∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2, OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值． 2．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上一点，＝λ(0＜λ＜1)，且PC⊥AB.　 (1) 求λ的值； (2) 求异面直线PC与AC1所成角的余弦值． 3．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，求BD1与AC的夹角的余弦值． 4．如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　) A.0 B. C. D. 6．如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 7．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________. 9．已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 10．如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． ☆【题型三】求两条异面直线所成的角的正弦值 【例题】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝，线段AD，BD的中点分别为E，F.现将△ABD沿对角线BD翻折，当二面角A－BD－C的余弦值为时，异面直线BE与CF所成角的正弦值是________． 【变式训练】 1．三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，且∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，OB＝OO1＝2，OA＝，则异面直线A1B与O1A所成角的正弦值为________． 2．如图所示，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的正弦值为 ． ☆【题型四】线面角：直线与平面所成的角 【例题】如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.求SN与平面CMN所成角的大小. 【变式训练】 1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A. B. C. D. 2．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为______． 3．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° ☆【题型五】求直线与平面所成的角的正弦值 【例题】 在正方体中，F是BC的中点，点在上，且，试求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC, AB＝AA1, ∠BAA1＝60°.若平面ABC⊥平面AA1B1B, AB＝BC，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 2．如图，已知