7.1.2 全概率公式 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2 全概率公式 课程标准 课标解读 1. 结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式 推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础. 2. 理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概 率计算. 3. 了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计 算. 通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题. 知识点1 全概率公式 1.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式. 注：全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集. （2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具. （3）全概率也是条件概率. 【即学即练1】一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　) A. B. C. D. 【即学即练2】假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 知识点2 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 【即学即练3】根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________. 【即学即练4】已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______． 考点一 全概率公式的计算 【例1-1】已知，求． 变式1：分别在下列各条件下，求： (1)； (2)． 考点二 两个事件的全概率问题 解题方略： 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 【例2-1】某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 变式1：两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　) A. B. C. D. 变式2：某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（       ） A． B． C． D． 变式3：某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 考点三 多个事件的全概率问题 解题方略： “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 【例3-1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 变式1：有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任