6.3特殊的平行四边形（2）——矩形的判定　课件　　2022—2023学年青岛版数学八年级下册

6.3 特殊的平行四边形（2） ———矩形的判定 初二数学组 【复习提问】 1．什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些特征？ 一个角是直角 平行四边形 矩形 2、会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明。 1、掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系. 【思考与探究】 如何判定一个四边形是不是矩形呢？ 一、根据定义： 首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角 注意：这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性---性质和判定） A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 于是，我们猜想： 有三个角是直角的四边形是矩形。 二、矩形的判定定理 问题1：把矩形的性质“矩形的四个角都是直角”反过来，“四个都是直角的四边形是矩形”是真命题吗？如果减少命题中直角的个数，还是真命题吗？画画看。 A B D C 已知：在四边形ABCD中，∠A＝ ∠B＝ ∠C＝900。 求证：四边形ABCD是矩形。 如何验证我们的猜想呢？（注意依据矩形的定义） 证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. D B C A ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ∵∠A=90°, 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形。 问题2：把矩形的性质“矩形的对角线相等”反过来，“两条对角线相等的四边形是矩形”是真命题吗？画画看。 A B C D AC=BD A B C D AC=BD 都不是矩形 如果适当加强命题“两条对角线相等的四边形是矩形”的条件，能使它成为真命题吗？ O 如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？ A B C D 将AC同时向两边拉长，使AC=BD O A B C D 现在的 ABCD会是一个什么图形？ 想一想 如何验证我们的猜想呢？（注意依据矩形的定义） 于是，我们猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形。 证明： 在 ABCD中 AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△BAD≌△CDA(S.S.S.) ∴∠BAD=∠CDA ∵AB∥CD ∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90° ∴四边形ABCD是矩形 （有一个内角是直角的平行四边形是矩形） 已知:在□ABCD中,AC=BD. 求证:□ABCD是矩形. 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 归纳：矩形的判定方法有哪些？ 定义 有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。 矩形判定定理2 任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。 矩形的判定口诀： 例1：已知M为 ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。求证： ABCD是矩形。 A B D C M 证明： ∵ABCD是平行四边形 AB＝DC ∵M是AD的中点 ∴AM＝DM ∵ MB＝MC ∴△BAM≌ △CDM ∴∠A＝ ∠D ∴ ∠A＋ ∠D＝1800 ∴∠A＝ 900 ∴ ABCD是矩形 例2： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图，    ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． ∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形) 证明：∵AB∥CD 　　∴∠ABC＋∠BCD=180° 　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD　　                                         A B D C O E F G H 例3、如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E.F.G.H分别是AO.BO.CO.DO上的一点,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AC=BD (矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO (矩形的对角线互相平分) ∵AE=BF =CG=DH, ∴OE=OF=OG=OH