2.5角平分线的性质 　课件　2022—2023学年青岛版数学八年级上册

2.5角平分线的性质 1 www.czsx.com.cn 1.体会角的轴对称性，认识角的平分线。 2.掌握角的平分线的性质并会应用. 3.知道到角两边距离相等的点在角的平分线上。 4.会用尺规作图作出一个角的平分线。 复习提问 1、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 O P A B 线段的长度 3 www.czsx.com.cn A B O A O B C 在纸上任意画一个∠ AOB把它沿经过点O的某条直线对折，使角的两边OA与OB重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为OC 你发现∠ AOB是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是哪条直线？ 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。. 折一折 角平分线的性质 活 动 1 4 www.czsx.com.cn 探究角平分线的性质 (1)实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP,过P作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB 问题：①比较PD和PE 的大小关系（量一量）。 PD=PE ②再换一个新的位置看看情况会怎样？ 活 动 2 (2)猜想: 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. P A O B C E D 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知“一个点在一个角的平分线上”。结论为“这个点到这个角两边得距离相等” 角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程? ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）∴PD=PE（角平分线的性质） P A O B C E D 1 2 归纳： ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） 判断： 练习1 8 ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） 9 ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，（ ） DB DC 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 √ 不必再证全等 10 练习2 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3. 求BD的长。 E D C B A 11 www.czsx.com.cn 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知∠ BOA,经过∠ BOA内部任意作直线L1 ∥ OB，作L2 ∥ OA.使L2与OA之间的距离等于L1与OB之间的距离．记L1,L2的交点为Q.则Q是∠ BOA内部一个到∠ BOA的两边OA,OB距离相等的点.作直线OQ.如果将∠ BOA沿OQ对折。 思考 L1 L2 你发现∠ BOQ与∠ QOA重合吗？由此你能得到什么结论？ 12 12 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 13 13 例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：