第四章 数列易错疑难集训(二)——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

《第四章　数列》易错疑难集训(二) 一、易错题 易错点1　数学文化背景下的数列问题 1.[2022江苏张家港高二上期中]1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到200这200个数中,能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列各项之和为(　　) A.1 666 B.1 676 C.1 757 D.2 646 2.[2022福建莆田高三模考]公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000 m处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000 m,此时乌龟领先100 m,当阿基里斯跑完下一个100 m时,乌龟领先10 m,当阿基里斯跑完下一个10 m时,乌龟领先1 m……所以芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001 m,此时乌龟爬行的总距离为(　　) A. m B. m C. m D. m 易错点2　与数列有关的新定义问题 3.(多选)[2022重庆八中高二月考]定义Hn=为数列{an}的“优值”.已知某数列{an}的“优值”Hn=2n,前n项和为Sn,则(　　) A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为递减数列 C. D.S2,S4,S6成等差数列 4.[2022北京三中高二下期中]如果数列{an}满足=k(k为常数),那么数列{an}叫作等比差数列,k叫作公比差.给出下列四个结论: ①若数列{an}满足=2n,则该数列是等比差数列; ②数列{n·2n}是等比差数列; ③所有的等比数列都是等比差数列; ④存在等差数列是等比差数列. 其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若数列{an}对任意正整数n,有an+m=anq(其中m∈N*,q为常数,q≠0且q≠1),则称数列{an}是以m为周期,以q为周期公比的类周期性等比数列.若类周期性等比数列{an}的前4项依次为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,求数列{an}的前21项和. 二、疑难题 疑难点1　数列与函数、不等式的综合问题 1.已知等差数列{an}满足an-1+an+an+1=3n(n≥2),函数f(x)=2x,bn=log4 f(an),则数列{bn}的前n项和为　　　　.  2.已知函数f(x)=,正项数列{an}满足a1=1,an=f(),n∈N*,且n≥2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:+…+<2. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上,数列{bn}满足bn+bn+2=2bn+1,b4=11,{bn}的前5项和为45. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>恒成立的正整数k的最大值. 疑难点2　图表中的数列问题 4.(多选)将n2(n≥3)个数排成n行n列的一个数阵,如图: a11　a12　a13　…　a1n a21　a22　a23　…　a2n a31　a32　a33　…　a3n ︙　︙　︙　 ︙︙ an1　an2　an3　…　ann 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=3,a61=a13+1,记这n2个数的和为S,则(　　) A.m=2 B.a67=13×27 C.aij=(2i+1)×2j-1 D.S=n(n+2)(2n-1) 5.在边长为243的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后在较小的正三角形中,以同样的方式形成一个更小的正三角形,如此重复多次,得到如图所示的图形(图中共有10个正三角形),其中最小的正三角形的面积为(　　) A. B.1 C. D. 6.[2022湖南长沙高三月考]如图1所示,古筝有多根弦,每根弦下有一个雁柱,雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中,每根弦都垂直于x轴,相邻两根弦间的距离为1,雁柱所在曲线的方程为y=1.1x,第n根弦(n∈N,从左数第1根弦在y轴上,称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l:y=x+1交于点An(xn,yn)和Bn(x'n,y'n),则yny'n=(　　) 参考数据:取1.122=8.14. A.814 B.900 C.914 D.1 000 7.(多选)意大利数学家斐波那契是