小专题5 圆的切线的证明-【一课通】2022-2023学年九年级下册数学随堂小练习(北师大版)

>8 小专题5 圆的切线的证明 类型一直线与圆有公共点 1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠DAB,CDLAD于点D,连接BC.求证：CD 与⊙O相切. 2.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下 半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F,AB=BF. (1)求证：AB是⊙O的切线： (2)若CF=4,DF=√I0,求⊙O的半径r及sinB. 3.如图，△ABC内接于⊙O,AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D,作∠BDE=∠ACD交CB的延 长线于点E, (1)求证：DE∥AB: (2)求证：DE是⊙O的切线： (3)若AC=4,BC=3,求弦CD的长. 0 61 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E,连接CE,CE 平分∠ACB. (1)求证：AE是⊙O的切线： (2)若CE=2√5，BE=2,求⊙O的半径. 类型二直线与圆无切点 5.如图，∠MAV=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O,交AN于D,E两点.设AD=x,当 x为何值时，⊙O与AM相切？ 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为 圆心、DB长为半径作⊙D. (1)AC与⊙D相切吗？ (2)你能找到AB,BE,AC之间的数量关系吗？ 7.如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,以点D为圆心、DC为半径作⊙D (1)求证：⊙D与AB相切： (2)若⊙D与AB的切点为E,BD与⊙D交于点F,且DE∥CF,判断四边形CDEF的形状并说明 理由. 62∵点P是线段BC的中点。点O是线段AB的中点，在Rt△AOE中，R=2r。故B正确； ∴OP是△ABC的中位线，∴OP∥AC．∵OD=OE=r，AB=AC=BC=a， 又∵PF⊥AC∴PF⊥OP． ∵点P在⊙O上∴PF是⊙O的切线。故③正确． 综上所述，正确的结论有①②③④。：在R△AOE中()+-(2)(2-)+ （÷k)=R． ∴r=a.k=a。故C错误D正确，故选C 4.405号 6.解：(1)如图连接OB.OC． ∵弦BC⊥AO于点M，AO是半径， ∴点M是BC的中点．小专题5圆的切线的证明 又∵点M是AO的中点，1.证明：如图。连接OC． ∴四边形ABOC是菱形。∴AC=OC．∵OA=OC∴∠CAO=∠ACO。 又∵OA=OC，∴AC=OC=OA。∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC． ∴△AOC是等边三角形。∴∠OAC=60°∴∠DAC=∠ACO。∴AD∥OC ∵CD⊥AD。∴OC⊥CD。 ∵OC为半径∴CD是⊙O的切线． （2)证明：由1)知。四边形ABOC是菱形，△AOC是 等边三角形。∴∠ABO=∠ACO=60?2.解：(1)证明：如图，连接OA.OD。 ∴∠ABC=2∠ABO=30，∵点D为CE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BC，∠EOD=90°． ∠OCB=2∠ACO=30，∵AB=BF，OA=OD． ∵cD⊥BA∴∠D=90∘∴∠BCD=60∘∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D。 ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，即OC⊥CD。又∵∠BFA=∠OFD， 又∵OC是半径∴CD是⊙O的切线。∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠OFD=90°， 思维升级即∠OAB=90°°∴OA⊥AB，∵OA是半径，∴AB是 7.c【解析】如图∵△ABC是等边三角形，⊙O的切线． ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O。（2)OF=CF-OC=4-r.OD=r，DF=\sqrt{I0} 设OE=r.AO=R.AD=h∴h=R+r。故A正确； 在Rt△DOF中，OD+OF=DF， ∵AD⊥BC∴∠DAC=号∠BAC=三×60°=30．+(4-r)^t=(\sqrt{10})^解得r_1=3.r_4=1(舍去) 98 ∴半径r=3.∴0A=3,O0F=CF-OC=4-3=1, :∠BDE=∠ACD=∠DCE,∠DEB=∠CED, BO=BF+FO=AB+1. .△DEB∽△CED. 在R1△AOB中，AB+OA2=OB, 器能DE=ECE-零×号 .AB+32=(AB+1)2.,.AB=4,OB=5. ..sinB=0A_3 DE=5:2235 8 OB5· -CD 2.cD- 4.解：(1)证明：如图1，连接OE CE平分∠ACB.·∠ACE=∠BCE 又：OE=(OC.∴.∠ACE=∠OEC. .∠BCE=∠OEC.∴.OE∥BC..∠AEO=∠B. 3.解：(1)证明：AD=AD,.∠ACD=∠ABD. 又：∠B=90°，.∠AEO=90°，即OE⊥AE. :∠AC