小专题3 二次函数图象与几何图形综合-【一课通】2022-2023学年九年级下册数学随堂小练习(北师大版)

8 小专题3二次函数图象与几何图形综合 类型一二次函数中的线段相关问题 1.如图，抛物线y=a.x2+b.x十c过A(一1,0)，B(3,0),C(0,-3),点M为顶点. (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标： (2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PA十PC的值最小，并求出P的坐标. 类型二二次函数中的图形周长、面积问题 2.如图，抛物线y=号(+b十e与直线y=?十3相交于A,B两点，其中点A在y轴上，且此抛物线 与x轴的一个交点为C(-3,0). (1)求抛物线的表达式： (2)在抛物线对称轴L上找一点M,使△MBC的周长最小，请求出点M的坐标及这个周长的最小值. y=x2+bx+c 3.已知抛物线y=x2一2x一3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），其顶点为P,直线y=kx十b过 抛物线与x轴的一个交点A,与抛物线相交的另外一个交点为C,若S。=10,请回答下列问题： (1)求直线的表达式： (2)求四边形APBC的面积. 41 类型三二次函数中的角度相关问题 4.如图，已知顶点为C(0,一3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点，直线y=x十m过点C 和点B (1)求m的值： (2)求函数y=a.x2十b(a≠0)的表达式： (3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由， 类型四二次函数中的特殊三角形问题 5.如图，已知二次函数图象的顶点在原点，且点(2,1)在二次函数的图象上，过点F(0,1)作x轴的平行 线交二次函数的图象于M,N两点. (1)求二次函数的表达式； (2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标. 6.将抛物线C：y=(x一2)向下平移6个单位长度得到抛物线C,再将抛物线C向左平移2个单位 长度得到抛物线C: (1)直接写出抛物线C,C的表达式： (2)点A在抛物线C,上，且在对称轴I右侧，点B在对称轴（上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角 三角形，求点A的坐标. 42∴.△=36-4(3a十3)>0.解得a<2. 把A(0,3).C(-3.0)代人y=zr+br+e, 把x=4代人y=2.x-1,解得y=2×4-1=7. c=3, 把(4,7)代人y=x2-1z+3a+2, 6= 得 9 解得 2 得7=16-16+3a+2.解得a=号 2 -3h+c=0, c=3. a的取值范围为号<a<2 抛物线表达式为y之+受x+3. (2)如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D,连接 小专题3二次函数图象与几何图形综合 BD交抛物线的对称轴于点M,连接CM. 1.解：(1)把C(0,-3)代人表达式得=-3. .MC=MD...MB+MC=MB+MD. 又因为抛物线过A(-1,0),B(3,0),将其代人表达 ∴.当B,M,D三点共线时，MB+MC的值最小， 式，得/4-6-3=0， △MBC的周长最小 19a+36-3=0, 解方程2十名x十3=0，得五=-3=-2 解得a=1, .D(-2.0). 6=-2. .抛物线的表达式为y=x2一2.x一3. =r++3 解方程组 :y=x2-2x-3=(x-1)-4.∴M(1,-4). 1 y=2x+3 (2)根据题意，知抛物线的对称轴为直线x=1,点A r=0, x=-4, 与点B关于直线x=1对称. 得 、或 y=3y=1. 如图，连接BC交直线x=1于点P,连接AP,侧PA .B(-4,1). =PB. 设直线BD的表达式为y=mx十H, A 4m十n=1, 把B-4,1),D(-2,0)代入，得 一2m十n=0, m=一 解得 :直线BD的表达式为y一之一1 月=一1 :抛物线的对称轴为直线=一号一当x=一2时， M y=一一1=子，此时M点的坐标为（一号，）》： PA十PC=PB+PC,.当B,P,C三点共线时，PA :BD=√(-4+2)+1严=√5， +PC的值最小. BC=√-4+3)+1下=√2， 设直线BC的表达式为y=m.x十n, 3m+n=0, ∴当M点的坐标为(-吾，)时，△MBC的周长最 把B(3,0),C(0,-3)代入，得 n=-3, 小，这个最小值为反+√5. m=1, 解得 .直线BC的表达式为y=r-3. n=-3. 当x=1时，y=x一3=一2，则满足条件的P点坐标 为(1，-2). B 、M 2.解：1)当x=0时y=2x+3=3心A(0,3) D O 87 3.解：(1)在y=2-2一3中，令y=0,则x-2x-3=0, 解得1=-1，x4=3..A(-1,0),B(3,0). 设C(m,m一2m-3), M. S6w=×4×m2-2m-3到=10， .m=4或m=-2.∴.C(4,5)或(-2,5). 把A(-1,0),C(4,