5.2.2 同角三角函数的基本关系 教学设计—— 2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

同角三角函数的基本关系 教学设计 教学目标： （1） 理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。 （2） 会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，发展数学运算素养。 教学重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导。 教学难点：学生能利用同角三角函数的基本关系正确求出同一个角的三角函数值。 教学过程： （1） 情景导入 引导语：上一节课我们学习了三角函数的定义，这节课我们在定义的基础上，进一步学习同角三角函数的基本关系。 材料1．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》（公元724年）中建立了世界数学史上较早的一张正切函数表．由于《大衍历》中一度与今天定义的有所不同，故展示《钦天历》中运用“九服晷影算法”得到的正切函数值。 你能通过tanx的值进一步得到sinx，cosx，进一步完善这个表格吗？ 材料2. 由于大航海和天文观测等需要，需要指定精确的三角函数表，1551年，哥白尼的学生雷提库斯（Georg Joachim Rheticus，1514-1574）出版了《三角准测》，其中包含了正余弦、正余切和正余割6中三角函数表.雷提库斯的造表程序是：首先构造出从0°到90°，每个10′′的正弦表，连续应用半角公式求出 雷蒂库斯是如何由正弦值得到其他三角函数值的呢？ 设计意图：通过材料提出研究同角三角函数之间的关系的必要性. 通过中国古代数学家的卓越成就，融入爱国教育，增强学生民族自豪感. （二）探究新知 引导语：三角函数定义的背景统一，它们之间一定存在一些内在联系.那让我们进一步研究“同一个角的三个三角函数值之间有怎样的关系”？ 问题1　完成下列填空题，猜想、和的关系. 师生活动：与学生核对答案，请学生猜想两种关系.教师询问将角α拓展到任意角，如何证明. 问题2 你能利用三角函数的定义证明问题1中的猜想（1）吗？ 师生活动：学生讨论后，请学生发表看法，评价勾股定理和两点间距离公式.教师引导学生们得到最终的.在此基础上，进行追问： 追问：分别用符号语言和文字语言总结一下.（请一名学生先说，随后请其他学生补充，修改，直至得出“（上节课已经学习过sinα与cosα的范围为R）；同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1”.） 问题3：我们从定义出发证明了与关系，尝试也从定义出发证明问题中的猜想（2）.（＝＝tan α） 师生活动：学生从定义较容易得到＝tan α，教师请一名学生分享结论。在此基础上进行追问，让其他学生补充完善角的条件. 追问（1）：当角为任意角时，公式都成立吗？（上节课已经讲过的tan α范围） 追问（2）：用符号语言和文字语言总结一下.（学生先说，随后得出“＝tanα，α≠＋kπ（k∈Z）；同一个角α正弦、余弦的商等于角α的正切”.） 追问（3）：用三角函数的一般定义也可让学生思考后，再进行梳理 问题4： 完成下面的判断联系，说一说你的理解与收获. sin217°＋cos217°＝1（ ） sin2()＋cos2()＝1（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 判断: 师生活动：学生开火车进行回答并阐释理由，并引导学生根据前5个总结并笔记“①同角的理解:关系式中角要相同，与角的形式无关”，强调一个写法“②sin2α是指（sinα）2，不可写为sinα2，含义不同”.③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 设计意图：从特殊到一般，学生深入探究了同角三角函数的基本关系、其推导过程、注意点. 在本章中“如何发现性质”主要按照以下三点：①从定义出发；②发挥单位圆的作用，体会“三角函数的性质是圆的几何性质的解析表示”；③三角函数是“一个背景定义三个函数”，由此可以预见它们有内在联系. 这里的思想可以迁移到本章其他地方的学习.深究证明来提升学生数学抽象和逻辑推理的核心素养；在此过程中，也体现了“数形结合”的数学思想. （三）应用新知 引导语：同角三角函数的基本关系有什么作用？（联系本节课开始的材料，观察两个公式，如果知道sin α的值，你能得到cos α的值吗？tan α的值呢？） 例题 已知，为第三象限角，求的值. 师生活动：学生基本上能自主完成，教师投影学生答案，请其他学生进行点评，简化步骤并板书，并引导学生思考“为第三象限”的作用. 变式1（教材183页.例6）已知，求的值. 师生活动：学生思考后进行小组讨论，请学生汇报，教师板书步骤. 追问：一定就是第三、四象限角吗？（还可能终边在y轴负半轴.但会有这种情况吗？为什么？引导学生加上） 变式2（改编自教材184页.练习2）已知，求的值. 师生活动：学生独立练习，教师投