全国卷中的创新题与命题背景汇编-2023届高三数学二轮复习备考

全国卷中的创新题与命题背景汇编 1.二进制问题 一。重要结论 1.定义：设整数p>l,则每个正整数n可唯一表示为n=ap+a4-p++a,p+a。, 其中a满足0≤a:≤p-1,ieN+,a:≠0，则称a:为正整数n的p进制表示中的数码.特 别地，当p=2时就可得到正整数n的二进制表示 2.二进制的运算性质. (1)若n=a2*+a-2-+…+a,2+a,则称o(m）= a为正整数n的2进制表 i=0 示中的数码和，显然o(2·n)=o(n). 还明：南于n=4,2+a42++a2+a则2”n=之a2,品然可符 o(2"·n)=o(n).(公众号：凌晨讲数学) (2)二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析 (3)o(2·n+t)=o()+o(t),其中正整数t的二进制展开式中最高次数小于m. 证明：由于n=0:2+a2++a2+a,则2，n=之a,2,另一方面，令 0 1=∑b2',则o(2"n+t)=o(m)+o) 例如：写出11的二进制表示。 解析：由于11=1×2+0×22+1×2+2°，故(11)2=1011. 注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以2为底的幂级数展开的系数 二.典例分析 例.(2021新高考2卷)设正整数n=a2*+a-12-+…+a,2+a0,其中a,∈{0，l}, 记o(n)=∑a,则() A.0(2n)=o(n) B.o(2n+3)=o(n)+1 C.o(8n+5)=o(4n+3) D.o(2"-1)=n 解析：由上述性质(1)，A正确.（公众号：凌晨讲数学) 由于n=a2+a12+…+a,2+a。,则 2n+3=2.∑a2+2+2°=2°+(a+)-2+a2++a2, i=0 故o(2n+3)=o(n)+2,则B错误.同理可证，C正确. 最后，由于2”-1=2°+2+…+2”，故⊙(2”-1)=n,D正确. 2.分支过程与灭绝概率 一.概率母函数山 1.设X是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为P=P{X=k},k=0,1,2…,则 定义幂级数()=之PS,sK1,称为随机变量X的概率母函数。 k-0 2.主要性质四： (1)随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即： φx(S)=(s)台P(X=k)=P(Y=k) (2)EX=x(1),E(X)=x(1)+x(1). 二.分支过程如 设最初有2。个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成1(1=0,1,2…)个物种，设其对 应的概率为p,:p,≥0，∑P,=1. 0 假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令X,表示在时刻n存在的第广个物种 在下一时刻（第n+1时刻）分裂成的物种个数，Z。表示时刻n中总物种的个数，则 Z。=n0 Z1= X 下图说明具体的分裂过程：（公众号：凌晨讲数学） Z。=s Z,=X(0)+…+X,(0) Z3=XI)+…+Xz) 乙.=Xa-)++Xa-)=2xa-) 三.分支过程的母函数山 分支过程乙，n=0,12…任一代的任意一个个体繁衍概率母函数均为：()=∑P,。 四.灭绝概率：分支过程的灭绝概率P是方程(S)=s的最小正根， 注：由四可知，关于该物种分裂的灭绝概率研究等价于去研究方程(S)=s的最小正根. 五.典例分析 例(2021新高考2卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下米，设一个这种微生 物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代 繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， P(X=i)=p,(i=0,1,2,3). (1)已知P=0.4,p1=0.3,P2=0.2,P3=0.1,求E(X): (2)设卫表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： P+Px+Px2+Px=x的一个最小正实根，求证：当E(X)s1时，p=1,当E(X)>1时， p<1: (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 解析：(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. (2)设f(x)=px+Px2+(P,-)x+p。,因为P+P2+P,+Po=1,故 fx=Px3+Px2-(P2+P+Px+P,若E(X)≤1，则PB+2P2+3P≤1，故 P2+2p3≤Po. f'(x)=3Px2+2Px-(P2+P+P),因为f'(0)=-(P2+p+P)<0, f'(1)=P2+2P3-P≤0，故f"(x有两个不同零点x,,且x<0<1≤x2, 且x∈(-o,x)U(x2,+o时，f'(x>0；x∈(x,x)时，f'(x<0: 故f(x在(-©，x),(x,+∞上为增函数，在(x,x)上为减函数， 若x?=1,因为f(x)在(x,+∞为增函数且f(1=0, 而当x∈(0，x)