导数新授课中的切线应用六大微专题-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数新授课中的切线应用六大微专题 专题1.在点求切线及应用 一．曲线的切线的求法（导数法），用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 二．典例分析 例1．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：函数，求导得：，依题意，，解得，即有，，所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意.故选：C 例2．设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或. 故选：B. 切线与数列结合 例3．已知曲线与直线交于点，设曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可知，，所以点，因为，所以， 所以函数在点处的切线的斜率为，切线的方程为.令，得，所以， 所以. 所以的值为.故选：C. 例4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则＝________. 解析：,当时，，故切线方程为， 令，得：，则×××…×=.故答案为： 例5．如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（） （1）试求与的关系（） （2）求 解析：（1）设点的坐标是，∵，∴，∴，在点处的切线方程是，令，则（）． （2）∵，，∴，∴，于是有 ， 即． 专题2：过点求切线 一．求过点A处切线方程方法如下： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 二．典例分析 例1．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 解析：在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D. 例2.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 解析：易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为： ．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式，得，或． 例3．若过点可以作曲线的三条切线，则（） A． B． C． D． 解析：由题可得，设切点，则，整理得，由题意知关于的方程有三个不同的解， 设，，由，得或，又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，当时，当时，，且，，函数的大致图像如图所示，因为的图像与直线有三个交点，所以，即.故选：D. 例4．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解析：设切点是，，即，而 故切线斜率，切线方程是， 又因为切线经过点，故，显然， 则，在上有两个交点， 令，设，则，令得，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，，且时，，时，，时，，时，，所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是.故选：C. 专题3.公切线问题 一.切线过点，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤： ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 二．典例分析 例1．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 解析：设是图象上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得， ，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为， 所以.故选：D 例2若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值． 设直线与曲线的切点坐标为，则，则切线的斜率或， 若，此时切线的方程为，由消去，可得， 其中，即，解可得；若，其切线方程为， 由消去可得，，又由，即，解可得． 故或． 例3．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且， 又，则公切线的斜率，则，所以， 则公切线方程为，即， 代入得：，则，整理得， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则，令得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下： 所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B. 微专题4.一个特殊的函数模