2.2基本不等式(第1课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式： 第1课时 基本不等式 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 问题一 问题一 替换后得到： 即： 即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 问题二 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 问题二 证明不等式： 基本不等式： 注意：（1） ； （2）当且仅当a=b时,等号成立. 【总结】 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 填表比较： 常用变形： 例1 已知x>0，求 的最小值. 解： 当且仅当 ， 即x=1时，等号成立 练习 已知>0，求 的最小值. 因为x>0， 所以 当且仅当 ， 即 时，等号成立 解： 例2 配凑法 解： 例3 例3 练习 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意： 例4 例5 练习 ，求的最小值 练习 p41 例5 例6 ，求的最大值 练习 ，求的最大值 例6 的最小值 练习 的最小值 × √ 【即时练习】 探究点3 利用基本不等式证明简单不等式 求证： 探究点3 利用基本不等式证明简单不等式 1.两个不等式 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 2.利用基本不等式求最值时，要注意： 已知a、b、c为正数， 求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3. 【证明】　左边＝eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)－1＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)－1＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)－1 ＝(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))－3. ∵a，b，c为正数， ∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)； eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)； eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)． 从而(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)． ∴(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))－3≥3， 即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3. $