6.3.2平面向量的正交分解及其坐标表示 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

核心知识目标 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2. 正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 复习巩固 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝___________. 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_______向量的一个基底. 不共线　 所有　 2. 基底 不共线　 任一　 M N O 引 入 重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2 问题1（2）已知向量e1，e2，作出向量a在e1，e2方向上的分解． O M N LOGO 4 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。 思考： e1，e2的长度为多少时更方便我们研究呢？ M N O 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 1. 平面向量的正交分解 新课讲授 O x y 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底． 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj . 思考： 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示. 那么，如何表示直角坐标平面内的每一个向量呢？ M N 探究新知 我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标， y x O x y 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj . 2. 平面向量的坐标表示 记作: x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示， 注意：每个向量都有唯一的坐标. 特殊向量的坐标： i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). LOGO 7 探究新知 思考 向量的坐标与点的坐标有何区别与联系？ 2．以原点O为起点作 的坐标关系如何？ 点A的坐标与向量 两者相同 1．以原点O为起点作 点A的位置由谁确定? 由 唯一确定 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同. 3．向量 与 相等，利用坐标如何表示？ 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量坐标. x y 重要结论2 重要结论1 LOGO 8 理解新知 点的坐标与向量的坐标的联系和区别 联 系 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向。 向量的坐标仅仅由向量的大小和方向决定，与向量的位置无关 向量中间用“=”连接，而点的坐标中间没有等号。 区 别 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标 两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同， 若, ,则且 注意 相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同 探究新知 4．区别： （1）表达形式不同，如a＝(1,2)，A(1,2). （3）符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义： ①表示一个固定的点②表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y). 向量有等号，点无等号 （2）给定一个向量，它的坐标是唯一的； 给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个. 向量的坐标与点的坐标区别与联系 LOGO 10 1.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应 小试身手 ABD 解析:由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.其余均正确,选ABD. 应用新知 例1.如图,分别用基底表示向量，并求出它们的坐标。 解： 由图可知，， 所以。 同理， ； 。 课堂练习 练习1 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示 ，并求出它们的坐标. LOGO 13 2.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． $