24.1.2圆的有关性质——垂直于弦的直径（1） 教案2022-2023学年人教版九年级上册数学

24.1.2垂径定理(1) 教学目标 1.研究圆的对称性，掌握垂径定理 2.学会运用垂径定理及解决一些有关证明、计算. 3.经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理过程，锻炼学生的思维品质，学习证 明的方法 3.在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新 意识和良好的运用数学的习惯和意识 教学重点 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用 教学难点 垂径定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 教学过程设计 一、创设问题情境，引入新课 赵州桥是1400多年前，我国隋代建造的石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦长)是37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m 问1：己知弦长和弓形高，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ (设计意图：给学生营造一个问题氛围，有利于激发学生的学习兴趣，调动他们参与的积极 性，让学生经历知识的形成与应用的过程。) 二、探究新知 把你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次， 问2：你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 师生活动：学生动手操作，并观察结果，得出初步结论 问3：你能证明这个结论吗？ 思考：如图，AB是⊙0的一条弦，做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. 问4：这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 问5：你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙0的一条弦，做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. 则有AE=BE, 弧AD=弧BD,弧AC=弧BC③平分弦 E 即： ①直径 平分弦所对的劣弧 B ②垂直弦 ⑤平分弦所对的优弧 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 师生活动：学生通过观察、找出弧之间的数量关系以及线段之间的位置和数量关系 (设计意图：让学生通过观察图形，找出直径、弦、弧之间的关系，概括出垂径定理的概念) 三、巩固新知 1.下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ A B E八 B 师生活动：通过做练习总结出使用垂径定理的条件：①过圆心②垂直弦 2.如图，在⊙0中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证 四边形ADOE是正方形 证明： .OE⊥ACOD⊥ABAB⊥AC ∴.∠OEA=90°∠EAD=90°∠ODA=90° .四边形ADOE为矩形， AE=4CAD=号A8 又.AC-AB ∴.AE-AD A B .四边形ADOE为正方形. 3．如图，在⊙0中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙0的半径 解：∵OE⊥AB ∴AE=；AB=2×8=4 在Rt△AOE中 AO^2=OE^2+AE^2 AO=\sqrt{OE}^2+AE^2=\sqrt{3}^2+4^2=5cm 答：⊙0的半径为5cm。 归纳：已知弦长和弦心矩，可求出半径 “运用垂径定理、勾股定理 师生活动：教师引导学生垂径定理常作的辅助线方法，学生在老师的引导下完成问题的解决 设弧AB所在圆的圆心为0，连接AO，过圆心O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C， 归纳∶已知弦长和弓形高，可求出半径 （运用垂径定理、勾股定理） 设计意图。数学来源于生活，并应用于生活，运用现学的知识点解读 课前的问题，让学生进一步感受数学知识的力量） 五、延展新是弦的直径垂直于弦吗? 思考：可 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ①过圆心 ③垂直弦 ②平分弦 ④平分弦所对的劣弧 (踪醒手) ⑤平分弦所对的优弧 (设计意图：) 六、归纳小结 内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的 方法. ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线， 重要思路： (由)垂径定理一--构造直角三角形 (结合)勾股定理--建立方程 归纳： 1、两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段 2、一个Rt△：半径、圆心到弦的垂线段、半弦 3、两个定理：垂径定理、勾股定理 (设计意图：让学生参与小结，培养他们对所学知识的回顾思考习惯，通过小结也强调了本 节课的重点，巩固所学知识) 七、辨别是非判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦（对） ②平分弦的直线必垂直弦（错） ③垂直于弦的直径平分这条弦（对） ④平分弦的直径垂直于这条弦（错） ⑤弦的垂直平分线是圆的直径（错） ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（对） ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧（错） 垂径定理的本质是： 满足其中任两条，必定同时满足另三条。 (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦（作为已知条件需说明“弦不是直径”） (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧