小专题2 巧作辅助线解决有关问题-【一课通】2022-2023学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

>8 小专题2巧作辅助线解决有关问题 一、有线段中点构造三角形的中位线 L.如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E,F分别是AM,MC的中点，则EF 的长随着M点的运动 A.不变 B.变长 C.变短 D.先变短再变长 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD,E为BC的中点. (1)求证：DE∥AC (2)若AB=4,AC=6,求DE的长. 二、有正方形作出正方形的对角线 3.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA,且作AE=AC,CF∥AE,则下列等式成立的是 ( A∠BCF=∠AEB B∠BCF=号∠AEB C∠BCF=S∠CAE D.∠BCF=∠BFC 4.如图，在正方形ABCD中，点E,F在对角线BD上，AE∥CF,连接AF,CE. (1)求证：△ABE2△CDF; (2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由， 21 三、构造全等三角形 5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O,O是其中两个正方形的对 角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面 积为 6.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边 形叫做等对边四边形.如图，在△ABC中，AB>AC,点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于点 O,如果∠A是锐角，∠DCB=∠EBC=号∠A 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形？请证明你的结论。 四、分割图形求面积 7.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F,若菱 形ABCD的周长为20，面积为24，则PE十PF的值为 () A.4 R碧 C.6 n号 五、构造等腰三角形证垂直 8.如图，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC,连接AE,F是AE的中点，连接BF, DF,求证：BF⊥DF 22△ABC是边长为6的等边三角 ∴.∠AEB=∠CFD 形，∴.AC=BC=6,∠ABC= .△ABE≌△CDF(AAS). ∠BAC=60°.：D,E分别是 (2)四边形AECF是菱形.理由 AC,BC的中点，∴AD=BE=3. 如下： :F,G,H分别是AB,AE,BD 如图，连接AC与BD交于点O. 的中点，FPG/BE.FG=BE= EHAD,FH △ABE≌△CDF, BE=DF. =D=号.∴FG=FH=是，∠AFG=∠ABC 又，OB=OD,∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF. 60°，∠BFH=∠BAC=60°.∴.∠HFG=180° 又：AC⊥EF,OA=OC, ∠AFG-∠BFH=6O°..△FGH是等边三角形.. .四边形AECF是菱形. GH-FG- 5.n一1【解析】如图，标注 各点，连接OB,OC 小专题2巧作辅助线解决有关问题 :∠BOF+∠FO,C= 1.A【解析】如图，连接AC D ,E,F分别是AM,MC的中 90°.∠FO,C+∠COG= 90°.∠B0F=∠C0G 点EF=号AC.:A.C是定 :四边形ABCD是正方形，∴.∠OBF■∠OCG 点，AC是定长，无论点M 45..△OBF2△O,CG(ASA)..O,O2两个正方 运动到哪个位置，EF的长不变，故选A 2.解：(1)证明：如图，延长BD 形阴影部分的西积是5-1，同理另外两个正 交AC于点H AD⊥BD 方形阴影部分的西积也是子5=1.心起这样的 ∴.∠ADB=∠ADH=90. n个小正方形按如题图所示方式摆放，附重叠部分的 在△ADB和△ADH中， 面积为1一1. ∠BAD=∠HAD 6.解：此时存在等对边四边形，是 AD-AD. 四边形DBCE.证明如下： ∠ADB=∠ADH, 如图，作CG⊥BE于点G,作 .△ADB≌△ADH. BF⊥CD交CD延长线于 ,∴.BD=HD 点F, 又E为BC的中点..DE∥AC (2)△ADB≌△ADH, :∠DCB-∠EBC= 2 ∠A,BC为公共边， ..AH=AB=4...CH=AC-AH=2. ∴.△BCF≌△CBG. BD=HD,E为BC的中点， ∴.BF=CG. ∴DE=CH=l ,∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC= 3.A【解析】如图，过点A作AG⊥ ∠ABE+∠A, BE于点G,连接BD,交AC于点 ∴.∠BDF=∠BEC. O.,四边形ABCD是正方形， ,△BDF≌△CEG. .AC⊥BD.OA=OB.∴.四边形 :.BD-CE. AGB0是正方形.∴.AG=AO ,.四边形DBCE是等对边四边形. AC=号AE.又：AG L GE, 7.B【解析】如图，连接BP, ∴∠AEG=30°.·.∠CFB=∠AEG=30 :四边形ABCD为菱形，菱 又，∠FBC