6.2.2排列数 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.2排列数 人教A版2019必修第三册 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义： 2.排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序. 复习引入 新知探究 问题1 写有1,2,3,4的卡片中选取卡片进行数字游戏，试填写下表： 4 3 12 4 3 2 24 4 3 2 1 24 排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ， 可记作： 问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ， 可记作： 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母 思考　排列与排列数相同吗？ 如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数. 答案　“一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数. 探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？ 排列数 可以按依次填2个空位得到： 同理，排列数 可以按依次填3个空位得到： 那么排列数 就可以按依次填m个空位得到： ··· ? 例如： 排列数公式的特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 全排列数： 1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 全排列数为: 排列数公式： 2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 例3 计算： 解：根据排列数公式，可得： 典例分析 思考 由例3可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 证明： 排列数公式的阶乘形式： 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 证： 例4 证明: (1) ； (2) . 典例分析 (1) (2) 排列数的性质 变式练习：1.证明： . 证明： 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法. 百位 十位 个位 典例分析 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法； 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为: 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 第3类, 十位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位, 有 种取法. 第2类, 个位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位, 有 种取法； 第1类, 每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有 种取法； 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 典例分析 解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 即所求三位数的个数为