6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （第1课时） 人教A版2019必修第三册 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 问题1. 春节放假，小兰计划回家过年和家人团聚，从北京回长沙当天有7趟航班和9列火车。 问题1：小兰从北京回长沙的方案有几类？ 问题2：这几类方案中各有几种方法？ 问题3：小兰从北京到长沙共有多少种不同的方法 两类，即飞机和火车 第1类乘飞机方案：7种方法，第2类坐火车方案：9种方法 共有7+9=16（种）不同方法 问题2. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码. 问题3.你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 一般地，有如下分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法 N＝m＋n 分类加法计数流程 注意：两类不同方案中的方案不相同。 问题4.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4 班, 汽车有2班,轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法。 如果完成一件事有n类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为: N＝m1＋m2＋…＋mn 分类加法计数原理推广 问题5： (1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都再到重庆共有多少种不同的走法？ 12种 (2)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的一个座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 解：解决计数问题可以用“树状图”列举出来 6×9=54种 问题6.你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步； （2）分别计算各步号码的个数； （3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数. 一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法 分步乘法计数流程 N= m×n 例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生 根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法. 解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择； 如果完成一件事有n步不同方案, 在第1步方案中有m1种不同的方法，在第2步方案中有m2种不同的方法，…，在第n步方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为: N＝m1×m2×…×mn 分步乘法计数原理推广 例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表 班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择； 由分步计数原理： 共有 30×24=720种不同方法. 例3.书架上第1层放有4本不同的计