4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

授课人：XXX 等比数列的前n项和公式 第1课时 学习目标 探索并掌握等比数列前项和公式. 会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 核心素养 逻辑推理 等比数列前𝑛项和公式的推导过程. 数学运算 等差数列前𝑛项和的应用. 知识回顾 回顾一下，等比数列的定义是什么？ 问题1 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等差数列的公比，公比通常用字母表示. 知识回顾 等比数列的通项公式是什么？ 问题2 首项为，公比为的等比数列的通项公式为 Part 01 探索等比数列的前n项和公式 问题探究 国际象棋起源于古印度. 相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 已知1000颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 问题探究 因为每个格子所放麦粒数依次成等比数列：， 所以国际象棋的发明者提出的要求实质上是求，即求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和. 国际象棋的发明者向国王提出的要求实质上是什么问题？ 问题3 问题探究 回顾一下，等差数列的前项和公式的推导过程. 问题4 因为， 由倒序相加法可得： ① ② ①+②，得 ，即 . 等差数列的前项和 ， 问题探究 类比上述推导方法，你能推导出等比数列的前项和公式吗？ 问题5 如果使用倒序相加法： ① ② 在等比数列中， 设等比数列的首项为，公比为，则的前项和是 所以 ，不能采用此法来推导. 问题探究 是否可以从等比数列的通项公式入手，推导出等比数列的前项和公式呢？ 问题6 ① 根据等比数列的通项公式， 可写成 观察上式，我们发现，如果用公比乘①的两边，可得 ② 问题探究 ① ② ①-②，可得 即 错位相减 问题探究 要求出，是否可以将两边同时除以？ 问题7 当时，即，. 当时，即，. 又 ，所以 . 问题探究 还有其它方法推导出等比数列的前项和公式吗？ 问题8 因为 方法二： 所以 当时，. 当时，. 构造法 等比数列的前n项和公式 设等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 当未知时，要分和两种情况讨论. 等比数列的前n项和公式 当时： 已知量 求和公式 首项、公比与项数 首项、公比与末项 等比数列的前n项和公式 有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了. “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 由，，，可得 等比数列的前n项和公式 这个数很大，超过了. 如果1000颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，7000亿吨约是7.5亿吨的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言. Part 02 等比数列前n项和公式的应用 例题解析 例7 已知数列是等比数列. 解： 因为，根据公式 ，可得 （1）若，求； 分析： 已知首项、公比与项数，可以直接利用公式 求和. 例题解析 例7 已知数列是等比数列. 解： 由，可得 ， 即 ，又由，得 ， （2）若，，求； 分析： 先利用和的值求出，再利用公式 求和. 所以 . 例题解析 例7 已知数列是等比数列. 解： 把， 代入 ，得 （3）若，，求 . 分析： 已知公式 中的、和，解方程即可求得. 整理，得 ，解得 . 例题解析 例8 已知等比数列的首项为，前项和为. 若 ，求公比. 解： 当时 分析： 当未知时，要分和两种情况讨论. 所以. 例题解析 当，由 ，得 整理，得 即 所以 Part 03 小结及随堂练习 课堂小结 等比数列的前项和公式： 当未知时，要分和两种情况讨论. 随堂练习 1、在等比数列中，，公比，当时，( ) A． B． C． D． 【解析】 由，，， B 当时，则，解得. 随堂练习 2、已知等比数列的前项和是，若，，则（ ） A．或 B． C． D． 【解析】 当时，，无解. 当时，，解得 C 随堂练习 2、已知等比数列的前项和是，若，，则（ ） 【解析】 所以 C A．或 B