4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

授课人：XXX 等比数列的前n项和公式 第2课时 学习目标 掌握等比数列前项和的性质，并能正确应用. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前项和有关的实际问题. 核心素养 数学运算 等比数列前项和的性质的应用. 数学建模 运用等比数列的前𝑛项和公式解决实际问题. 知识回顾 等比数列的前项和公式： 当未知时，要分和两种情况讨论. Part 01 等比数列前n项和的性质 问题探究 例9 分析： 当未知时，要分和两种情况讨论. 已知等比数列的公比，前项和为. 证明：，，成等比数列，并求这个数列的公比. 问题探究 证明： 当时， ， ， ， 所以，，成等比数列，公比为1. 问题探究 ， 所以 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为. 当时， ， ， 问题探究 想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？ 问题1 证明： ∵ ， ， ∴ ∴ ，，成等比数列，公比为. 问题探究 例9中为什么限制？ 问题2 当，且为偶数时，， 则，，不成等比数列. 因此，在应用该性质时，一般限制公比. 等比数列前n项和的性质 等比数列（公比）中依次每项之和构成的新数列仍然是等比数列，即仍是等比数列，新数列的公比为. 01 01 若等比数列有项，则 . 02 02 若等比数列有项，则 . 03 03 如何证明？ 等比数列前n项和的性质 若等比数列有项，则 若等比数列有项，则 证明： Part 02 等比数列前n项和实际应用 例题解析 例10 如图，正方形的边长为5cm，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 例题解析 分析： 每个正方形的边长之间有什么关系呢？ 第1个正方形边长： cm 第2个正方形边长： cm 第3个正方形边长： cm 这10个正方形的边长构成了以5为首项， 为公比的等比数列. 例题解析 分析： 每个正方形的面积之间有什么关系呢？ 第1个正方形面积： cm2 第2个正方形面积： cm2 第3个正方形面积： cm2 这10个正方形的面积构成了以25为首项， 为公比的等比数列. 例题解析 分析： 要求连续10个正方形的面积之和， 也就是求等比数列前10项的和. 已知首项、公比与项数，可以利用公式 求和. 如何求连续10个正方形的面积之和？ 例题解析 解： 设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，则 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以 因此，是以25为首项， 为公比的等比数列. 设的前项和为. 例题解析 （1）. 所以，前10个正方形的面积之和为 cm2. （2）当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 例题解析 ∵ 指数函数是减函数，无限增大时，的图象无限接近轴， 即随着的无限增大， 将趋近于0， 将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例题解析 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 例题解析 分析： 由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列， 因为去年的生活垃圾为20万吨，每年生活垃圾的总量递增5%， 而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列， 则 ，. 因为去年以环保方式处理的垃圾量为6万吨，每年的处理量增加1.5万吨， 则 ，. 因此，每年以填埋方式处理的垃圾量可以用这两个数列的差构成的数列来表示. 例题解析 解： 设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列， 每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位：万吨)，则 例题解析 当时，. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 例题解析 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示 与 之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中为常数； （3）求的值（精确到1）. 例题解析 分析： （1）根据题意，可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立 与 的关系. 解： （1）由题意“今年初牛的存栏数为1200”，得，并且 即 例题解析 分析： （2）这是待定系数