7.1.1数系的扩充和复数的概念 学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必须第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 学习目标 核心素养 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程． 数学抽象 2.理解复数的概念、表示法及相关概念． 逻辑推理 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 数学运算 【教学重难点】 教学重点：(1）数系扩充的过程和方法; (2）对i的规定和理解复数的概念。 教学难点：虚数单位i的引入和复数概念的理解。 【学习过程】 导入新课：1、方程有解吗？ 2、方程有解吗？ 问1：条件有什么变化使方程有解了？ 3、方程x2+1=0有解吗？ 问2:我们能否将实数集进行扩充，使这个方程有解？ 学习目标一：复数的相关概念 问题1:方程x2+1=0在实数范围内有解吗? 若有一个新数i满足i2= -1,试想方程x2+1=0有解吗? 问题2:添加i之后,我们知道 i2= -1,i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候,会产生怎样的新数? 知识点1.复数的有关概念 （1）i的定义与运算： 在实数集R中添加新数i,规定: ①i2= ,其中i叫作 ; ②i可与实数进行四则运算,且原有的加法、乘法运算律仍然成立. （2）复数 ①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝ . ②表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 . （3）复数集 ①定义： 所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C表示. ③复数的分类：z＝a＋bi(a，b∈R) 实数（ ） 虚数（ ） 虚数（ ） 纯虚数（ ） ④复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 （4）对实部和虚部的理解 复数m＋ni的实部、虚部不一定是m、n，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部. 自主检测1．1.设复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,则实数a=(　　) A.-3　　　　B.-2 C.2　　　　D.3 例1.课本69页例题1. 学习目标2.复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di ；a＋bi＝0 . 【名师点睛】对复数相等的理解 （1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部. （2）只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di. （3）由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0. 自主检测2．若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为(　　) A.-1　　B.2　　　C.1　　　D.-1或2 自主检测3.复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数m的值是(　　) A.3　　B.2　　C.2或3　　D.0或2或3 学习目标三　复数概念的应用 【例1】写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数 实数： 虚数： 纯虚数： 【例2】当实数m取什么值时，复数是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数 方法规律： 判断复数概念和分类方面问题时注意点 (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系 (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同 (3)注意分清复数分类中的条件： 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R) ①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0， ③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0 自主检测4.下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集 其中正确的是(　 　) A.① B.② C.③ D.④ 自主检测5.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 (　　) A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 C.若=0,则z1=z2=0 D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数 自主检测6. 已知z1=-3-4i,z2