2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题 1．如图，经过点的抛物线与轴相交于，两点． (1)求此抛物线的函数关系式和顶点的坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若点是第四象限抛物线上的一点，是否存在一点使以、、、为顶点的四边形面积最大？若存在，求点的坐标及四边形的最大面积，若不存在，说明理由． 2．综合与探究 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过、两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上求一点M，使得最大，并求出此时点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使的点P的坐标． (4)在对称轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 (3)如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 4．如图，抛物线经过点，且交轴于点，点是轴正半轴上的动点，交抛物线于点，轴交线段的延长线于点，作直线，交轴于点，交轴于点 (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，点恰好与点重合 (3)当时，请直接写出线段的值． 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求点B的坐标； (2)如图1，点P在第三象限的抛物线上，横坐标为m，BP交y轴于点D，时，求a的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点Q在线段上，连接，当，，求的正切值． 6．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．直线经过点A，C． (1)求出此抛物线的表达式及点B的坐标； (2)已知点P是第一象限内抛物线上一动点． ①当点P在何位置时，以点P，B，C为顶点的三角形面积最大？最大面积是多少？ ②再取x轴上一点H，是否存在以点A，C，P，H为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点P和H的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接BC． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使得、两点到直线的距离相等，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，以为旋转中心，把线段逆时针旋转，得到线段，其中点的对应点为点，当抛物线的对称轴刚好经过中点时，求此时点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段的中点，且平移后抛物线的对称轴与轴交于点．，是直线上任意两点，为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标． 10．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为． (1)请直接写出点的坐标． (2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； (3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知k为正数，当时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值；