18.2.3 平行四边形性质与判定综合应用课件2022-2023学年华东师大版八年级数学下册

18.2.3 平行四边形性质与判定综合应用 八下 数学 华师版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 学习目标 1. 掌握平行四边形的判定定理; 2. 能运用平行四边形的性质进行计算和证明; 3. 体会互逆思想及作用. 重点 难点 新课引入 平行四边形的性质 复习回顾 1、对边平行且相等; 2、对角相等; 3、对角线相互平分 平行四边形的判定 2、一组对边平行且相等; 4、两组对角分别相等; 5、对角线相互平分 3、两组对边分别相等; 四边形是平行四边形的条件: 1、两组对边分别平行; 新知学习 例1 如图,在▱ABCD中,点F、H分别在边AB、CD上,且BF=DH.求证:AC和HF互相平分. 分析:因为AC和HF是四边形AFCH的对角线,所以要证明AC和HF互相平分,只需证明四边形AFCH是平行四边形. 证明:分别连结AH、CF. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD(平行四边形的对边平行), AB=CD(平行四边形的对边相等). 又∵BF=DH, ∴AB-BF=CD-DH, 即AF=CH, ∴四边形AFCH是平行四边形(一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形), ∴AC和HF互相平分. 针对训练 1. 如图,在▱ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,且AE∥CF.求证:AE=CF. 证明:▱ABCD中,AD∥CB, ∴AF∥CE, ∵AE∥CF, ∴四边形AECF是平行四边形(两组对边分别平行 的四边形是平行四边形) ∴AE=CF 例4在上一讲用来拓展对角分别相等的四边形为平行四边形 2.如图,在▱ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:▱ABCD中,有AB=CD,BC=AD,∠A=∠C,∠B=∠D ∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点, ∴AH=HD=BF=FC,AE=EB=DG=GC ∵∠A=∠C,∠B=∠D, ∴△HEA≌△FGC,△BEF≌△DGH ∴有FG=EH,EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相 等的四边形是平行四边形) 3. 如图,在▱ABCD中,AF=CH,DE=BG.求证:EG和HF互相平分. 证明:▱ABCD中,有AB=CD,BC=AD,∠B=∠D,∠A=∠C ∵AF=CH, ∴AB-AF=CD-CH 即BF=DH ∵DE=BG, ∴△HED≌△FGB,∴有FG=EH 同理可证△AFE≌△CHG, 有EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相 等的四边形是平行四边形) ∴EG和HF互相平分 例2 如图,四边形AEFD和EBCF都是平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵四边形AEFD是平行四边形, ∴AD EF. 又∵四边形EBCF是平行四边形, ∴BC EF. ∴ AD BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形) ∥ = ∥ = ∥ = 例3 如图,G、H是▱ABCD对角线AC上的两点,且AG=CH,E、F分别是边AB和CD的中点.求证:四边形EHFG是平行四边形. 证明:连结EF交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB CD. 又∵E、F分别是边AB、CD的中点, ∴AE=CF. 又∵AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO ∥ = 在△AOE和△COF中, ∵∠EAO=∠FCO, ∠AOE=∠COF, AE=CF, ∴△AOE≌△COF, ∴OE=OF, 又∵AG=CH, ∴OG=OH. ∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 扩展 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s). (1)用含t的代数式表示: AP=_; DP=_; BQ=_; CQ=_; t cm (12-t) cm (15-2t) cm 2t cm (2)当t为何值时,四边形APQB是平行四边形? 解:根据题意有AP=t cm,BQ=(15-2t)cm. ∵AD∥BC, ∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形. ∴t=15-2t, 解得t=5. ∴t=5s时四边形APQB是平行四边形; 解:由题意知CQ=2t cm,PD=(12-t)cm, ∵AD∥BC, ∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形. 即12-t=2t, 解得t=4, ∴当t=4s时,四边形PDCQ是平行四边形. (3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形? 针对训练 1. 在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平