第44讲 模型7 二次函数与全等三角形的存在性问题-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第44讲 | 二次函数中的相关模型 模型七　二次函数与全等三角形的存在性问题 解题步骤 (1)找点 利用尺规作图确定动点位置 (2)求点 利用等量关系或联立解析式 (3)定点 依据题意确定符合要求的点的坐标 遇到45度，等腰直角三角形构造K字形，证全等三角形 学霸中考·数学 【针对训练7】 22.如图，将一正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A，B均落在坐标轴上，抛物线y＝－x2＋2x＋3过点A，B. (1)求点A，B的坐标； 解：(1)令x＝0，则y＝3； 令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴点A(0，3)，B(3，0)． 学霸中考·数学 (2)点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标． 解：(2)∵△MOA≌△MOB，∴AM＝BM. ∴点M在AB的垂直平分线上． ∵四边形OBCA为正方形， ∴OC为AB的垂直平分线． 由(1)可知，C(3，3)． 设直线OC的解析式为y＝kx， 将C(3，3)代入，得3k＝3，解得k＝1. ∴直线OC的解析式为y＝x. 答图 学霸中考·数学 23.如图，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．抛物线交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)把A(1，－4)代入y＝kx－6，解得k＝2. ∴直线AB的解析式为y＝2x－6. 令y＝0，即2x－6＝0，解得x＝3.∴点B的坐标是(3，0)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－4. 把B(3，0)代入，得4a－4＝0，解得a＝1. ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3. 学霸中考·数学 (2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(2)存在．由y＝x2－2x－3，可知C(0，－3)． ∵OB＝OC＝3，OP＝OP， ∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC. 此时直线OP平分第二象限，即直线OP的解析式为y＝－x. 设P(m，－m)，则－m＝m2－2m－3， 几何画板 学霸中考·数学 24.(2022邵阳)如图，已知直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； 解：(1)在直线y＝2x＋2中， 当x＝0时，y＝2； 令y＝0，得2x＋2＝0，解得x＝－1. ∴A(－1，0)，B(0，2)． 设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 学霸中考·数学 (2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标； 解：(2)①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP. ∵四边形OPDE为正方形， ∴DP＝OP＝AO＝1. 此时点P的坐标为(1，0)； ②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP. ∵四边形OPDE为正方形， ∴DP＝OP＝OB＝2. 此时点P的坐标为(2，0)． 综上所述，点P的坐标为(1，0)或(2，0)． 学霸中考·数学 (3)在条件(2)下，点Q是线段CD上的动点(点Q不与点D重合)，将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD′，连接CD′，求线段CD′长度的最小值． 解：(3)由(2)可得点P的坐标为(1，0)或 (2，0)，且C点坐标为(3，0)， ∴DP＝OP＝1或2，OC＝3. 如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径 的⊙P上运动， 当D′，P，C三点共线时，CD′有最小值． 当DP＝1时，点C在⊙P外，此时CD′＝PC－DP＝2－1＝1. 当DP＝2时，点C在⊙P内，此时CD′＝DP－PC＝1. 综上所述，CD′长度的最小值为1. 答图 学霸中考·数学 $