第44讲 模型6 二次函数与直角三角形的存在性问题(类比模型五)-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第44讲 | 二次函数中的相关模型 模型六　二次函数与直角三角形的存在性问题 1.函数图象上因动点产生的直角三角形 解题步骤 (1)找点 利用尺规作图确定动点位置 (2)求点 利用等量关系或联立解析式；直角三角形需要根据顶点进行分类讨论，然后建立等式求解 (3)定点 依据题意确定符合要求的点的坐标 学霸中考·数学 2.直角三角形存在性问题的一般处理方法 如图，已知线段AB，在直线l上找点 P使得△ABP为直角三角形． Rt△ABP可分为三种情况： (1)∠A为直角：过点A作直线l1⊥AB，与直线l相交于P1； (2)∠B为直角：过点B作直线l2⊥AB，与直线l相交于P2； (3)∠P为直角：以AB的中点为圆心， 长为半径作圆，与直线l交于P3，P4.所以点P1，P2，P3，P4即为所求． (注：∠P为直角时，点P存在的个数可能为0，1，2个) 学霸中考·数学 3.利用两点间的距离公式，建立方程求直角三角形的存在性问题 图形 策略 学霸中考·数学 4.利用斜率公式，建立方程求直角三角形的存在性问题 图形 策略 5.构造K结构(一线三等角结构)，利用相似三角形的性质，构造线段的数量关系． 学霸中考·数学 【针对训练6】 20.如图，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A，B均落在坐标轴上，一抛物线过点A，B，且顶点为P(1，4)． (1)求抛物线的解析式； 解：(1)∵正方形的边长为3， ∴A(0，3)，B(3，0)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 把A(0，3)代入， 得a＋4＝3，解得a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. 学霸中考·数学 (2)在y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(2)存在．设点N的坐标(0，t)， ①当∠PNB＝90°时，如答图1，过点P作PM⊥y轴，垂足为M. 易得△PMN∽△NOB， ②当∠NPB＝90°时，如答图2，过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，交BC延长线于点Q. 易得△PMN∽△BQP， ③当∠PBN＝90°时，如答图3，过点P作x轴的平行线，交BC延长线于点Q. 易得△PQB∽△NOB， 答图1 答图2 答图3 几何画板 学霸中考·数学 21.(2022枣庄)如图1，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c的图象经过点A (0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线OE交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； 解：(1)将A(0，3)，B(1，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c， ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. 学霸中考·数学 (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； 解：(2)如答图1，过点P作PG∥y轴，交OE于点G. ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°. ∵AC∥x轴，∴∠OAE＝90°. ∴△AOE是等腰直角三角形． ∴AE＝OA＝3. ∴E(3，3)． ∴直线OE的解析式为y＝x. 设P(m，m2－4m＋3)，则G(m，m)． ∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3. 答图1 学霸中考·数学 (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围； 解：(3)由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为(2，－1)． 则抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为(2，－1＋h)． 如答图2，设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N(2，3)． ∵直线OE的解析式为y＝x，∴M(2，2)． ∵顶点在△OAE内(包括△OAE的边界)， ∴顶点在线段MN上(含端点)，即2≤－1＋h≤3， 解得3≤h≤4. 答图2 学霸中考·数学 (4)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(4)存在．设P(m，m2－4m＋3)，分四种情况： ①当点P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如答图3，过点P作MN⊥y轴，交y轴于点M，交l于点N. 则∠OMP＝∠PNF＝90°. ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°. ∴∠OPM＋∠NPF＝∠PFN＋∠NPF＝90°. ∴∠OPM＝∠PFN.∴△OMP≌△PNF(AAS)． ∴OM＝PN. ∵P(m，m2－4m＋3)， ∴OM＝－(m2－4