第44讲 模型4 二次函数与角度问题-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第44讲 | 二次函数中的相关模型 模型四　二次函数与角度问题 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.则tan α＝ . 一次函数y＝kx＋b中k的几何意义： 假如y＝kx＋b过两个不同的点(x1，y1)，(x2，y2)，由待定系数法可以解得k＝ ，从图象上来看，就是两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，也就是直线与x轴夹角的正切值(但要注意符号)，即|k|＝tan θ. 学霸中考·数学 若两角为同位角的位置，可考虑构造平行线， 如：若∠1＝∠2，则点D一定在过点C与AB平行的直线上. 若两角为同旁内角的位置，可考虑构造等腰三角形， 如：若∠1＝∠2，延长AD与BC相交于点E，则△EAB为等腰三角形. 学霸中考·数学 【针对训练4】 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)在x轴上，点P为抛物线y＝x2上一动点，是否存在点P，使∠POA为45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在．设PO的直线解析式为y＝kx. ∵∠POA＝45°， ∴k＝tan 45°＝1. ∴y＝x. ∴点P的坐标为(1，1)． 答图 学霸中考·数学 12.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式及抛物线的顶点坐标； (2)点E的坐标为(0，－1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标． 解：(1)令x＝0，则y＝3.∴C(0，3)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x＋3)， 将C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 顶点坐标为(－1，4)． 解：(2)设直线PE与x轴交于点H. ∵∠OGE＝15°， ∴∠PEG＝2∠OGE＝30°. ∴∠OHE＝45°. ∴OH＝OE＝1. 则直线HE的表达式为y＝－x－1， 令－x2－2x＋3＝－x－1， 答图 学霸中考·数学 13.(2022十堰)如图，已知抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC. ①若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标； (2)①如答图1，延长PC交x轴于点Q. ∵∠PDQ＝90°，∴∠CQO＝90°－∠CPD＝45°. ∴∠OCQ＝∠CQO＝45°. ∴OQ＝OC＝3. ∴Q(3，0)． ∴直线PC的解析式为y＝x－3. 答图1 学霸中考·数学 ②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长． ∴B(－4，0)．∴OB＝4，BC＝5. 设直线BC的解析式为y＝kx－3， 当点P在第三象限时，如答图2，作EF⊥y轴于点F，则EF＝－m. ∵点E与E′关于PC对称， ∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′. ∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠E′CP. ∴∠ECP＝∠EPC.∴PE＝CE.∴PE＝CE′. 易得四边形PECE′为菱形． ∵EF∥OB，∴△CEF∽△CBO. 答图2 当点P在第二象限时，如答图2. 13.(2022十堰)如图，已知抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－3)． (2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC. 学霸中考·数学 14.(2022菏泽)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－2， 0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，连接AC，BC. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－8)， 学霸中考·数学 (2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积； 解：(2)按题意作图如答图1，过点D作DE⊥x轴于点E. ∵A(－2，0)，B(8，0)，C(0，4)， ∴OA＝2，OB＝8，OC＝4. ∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB. ∴∠ACO＝∠CBO. ∵∠OCB＋∠CBO＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°. ∴∠ACB＝90°. 由折叠，得BC＝CD，AB＝AD，∠ACD＝∠ACB＝90°. ∴B，C，D三点在一条直线． ∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC. 答图1 ∴△BCO∽△BDE. ∴DE