第43讲 模型5 胡不归与最值问题-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第43讲 | 几何最值 模型五　胡不归与最值问题 模型讲解 应用范围 【理论依据】 垂线段最短． 【模型建立】 如图，点A为直线MN上一定点，点B为直线MN外一定点，点C为直线MN上一动点， 请确定点C的位置使BC＋kAC(0<k<1)的值最小． 【问题解决】 (1)构造射线AD使得sin∠DAN＝k； (2)过点C作CH⊥AD于点H，则 ＝k，CH＝kAC； 　　　　 (3)将问题转化为求BC＋CH最小值，过点B作BH⊥AD交MN于点C，交AD于点H，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC的值最小． 【模型总结】 在求形如“BC＋kAC(0<k<1)”的式子的最值问题中，关键是构造与kAC相等的线段，将“BC＋kAC”型问题转化为“BC＋CH”型．(这里的AC必须是一条方向不变的线段，方能构造定角，再利用三角函数得到kAC的等线段) 倍数线段和综合题(注意跟将军饮马问题区别) 学霸中考·数学 【针对训练5】 25.(2022鄂尔多斯改编)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB，PC.则 PA＋PB的最小值为 ． 【解析】如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于点F，交AD于点P. ∴∠AFB＝90°. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠EAD＝∠CAE＋∠CAD＝30°. 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC＋∠CAE＝45°. 答图 学霸中考·数学 26.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋ BD的最小值是 ． 【解析】如答图1，过点D作DH⊥AB于点H. ∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°. ∴BE＝2AE. ∴(2AE)2＋AE2＝AB2＝100. ∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°. 如答图2，当C，D，H共线时，CD＋DH的值最小． ∵AB＝AC， 答图1 答图2 学霸中考·数学 解：作点E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G， 过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，连接PE， 设AG＝4k，EG＝3k， ∵∠AGE＝∠AHP＝90°， ∵E，F关于x轴对称，∴PE＝PF. 答图 几何画板 学霸中考·数学 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A和点C(1，0)，交y轴于点B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AE′，BE′，求BE′＋ AE′的最小值． 解：(1)把C(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中， ∴y＝－x2－2x＋3. 连接DE′，BD， ∴E(－1，0)，OE＝1. ∴OE′＝OE＝1. 令y＝－x2－2x＋3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1. ∴OA＝3. 答图 又∵∠DOE′＝∠E′OA， ∴△DOE′∽△E′OA. 当B，E′，D三点共线时，BE′＋DE′的值最小为BD. 几何画板 学霸中考·数学 29.(2022梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x－4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝ x2＋bx＋c恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式． (2)若点C的坐标是(0，6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E. ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； ②若点P是y轴上的任意一点，求 BP＋EP取最小值时，点P的坐标． 当x＝0时，y＝－4；令y＝0，则x＝－3. ∴A(－3，0)，B(0，－4)． (2)①过点E作ED⊥y轴于点D. ∵A(－3，0)，C(0，6)，∴OA＝3，OC＝6. 由旋转得，∠OCF＝90°，CF＝OC＝6，EF＝OA＝3， ∠F＝∠AOC＝90°.易得四边形CDEF是矩形． ∴CD＝EF＝3，DE＝CF＝6. 答图 ∴OD＝OC－CD＝3.∴E(6，3)． ∴点E在该抛物线上． ②过点E作EH⊥AB，交y轴于点P，垂足为H. ∵B(0，－4)，∴OB＝4. ∴HP＋PE的最小值为EH的长． ∵∠HPB＝∠DPE，∴90°－∠HPB＝90°－∠DPE，即∠HBP＝∠DEP. ∵∠AOB＝∠PDE＝90°，∴△AOB∽△PDE. 学霸中考·数学 得解得 $