第43讲 模型2 轨迹为线段与最值问题-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第43讲 | 几何最值 模型二　轨迹为线段与最值问题 模型讲解 应用范围 1.定距离得平行线． 到定直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于直线l，并且到直线l的距离等于定长d的两条直线． 说明：过程点均为线段的中点，过程点在运动过程中到定线段的距离始终保持不变，根据平行线间的距离处处相等，可得过程点的运动轨迹与定线段平行，再加上中点即可证运动路径长为三角形(或梯形)的中位线．另：此类题也可通过四点共圆的几何证法，得角相等，再根据同位角(内错角)相等，两直线平行得中位线. 瓜豆问题 (主动点与从动点问题). 2.定夹角得直线． 如图，动点B在运动过程中直线AB(点A为起点)与定直线l的夹角保持不变，则动点B始终在定直线AB上运动，此时，点B运动路径的长为连 接起点和终点的线段长． 3.与已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 4.在角的内部，到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线． 学霸中考·数学 【针对训练2】 类型1.定距离得平行线 3.如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为(0，4)，顶点B，D分别在x轴和直线y＝－3上，则对角线AC的最小值是 ． 【解析】设点C坐标为(a，b)． 由题意得点B，D纵坐标分别为0，－3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AC，BD互相平分． ∴0＋(－3)＝4＋b，解得b＝－7. ∴点C在直线y＝－7上运动． ∴当AC⊥直线y＝－7时，AC的值最小． ∴对角线AC的最小值为4－(－7)＝11. 故答案为：11. 11 学霸中考·数学 4.如图，在△ABC中，BC＝8，M是边BC上一动点，连接AM.取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C，求点P运动路径的长度． 解：过点P作PG⊥BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H. 易证△PMG∽△AMH.由AM＝2PM，可得PG＝ AH. 当△ABC确定时，AH的值确定，从而PG的值确定， 即动点P到定直线BC的距离为定值，从而点P在一条 定直线上运动． 再找到动点P的起点E与终点F， 则△ABC的中位线EF即为点P运动轨迹，其长为4. 答图 几何画板 学霸中考·数学 类型2.定夹角得直线 5.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到点C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形APQ.则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为( ) 【解析】如答图，作QN⊥BC，交BC的延长线于点N，连接CQ并延长，交AD的延长线于点M. ∵PA＝PQ，∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠QPN＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°. ∴∠APB＝∠PQN. ∴△ABP≌△PNQ(AAS)．∴AB＝PN，PB＝QN. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PN. ∴BC－PC＝PN－PC，即PB＝CN＝QN.∴∠QCN＝45°.∴∠M＝45°. 当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点Q与点M重合， ∴点Q的运动轨迹是线段CM. 故选：C. 答图 C 几何画板 学霸中考·数学 【解析】如答图，连接AQ，AP. ∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°. ∵BP•BQ＝AB2， 又∵∠ABP＝∠QBA，∴△ABP∽△QBA. ∴∠APB＝∠QAB＝90°. ∴QA始终与AB垂直． 当点P在A点时，点Q与点A重合． 当点P在C点时，点Q与点Q′重合． ∵C为半圆AB的中点，∴∠ABC＝45°. ∴∠Q′＝∠ABC＝45°.∴AQ′＝AB＝4. 此时，点Q运动到最远处，运动路径长为4. 故答案为：4. 答图 4 几何画板 学霸中考·数学 7.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG的最小值为 __． 【解析】分别以BE，AE为边构造等边三角形BEG1，等边三角形AEG2，连接G1G2， 则G1G2即为点G的运动轨迹． ∵∠G1EA＋∠G2EA＝∠G1EA＋∠G1EB，即∠G1EG2＝∠AEB. ∴△ABE≌△G2G1E(SAS)． ∴∠EG1G2＝∠EBA＝90°. 过点C作CH⊥G1G2于点H，过点E作EK⊥CH于点K， 当点G在点H处时，CG的值最小． 易证四边形EKHG1是矩形． ∴KH＝EG1＝1，∠G1EK＝90°. ∴∠CEK＝180°－ 90°－60°＝30°. 答图 学霸中考·数学 8.(2021广州节选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF，DE相交于点G.当点E从点A开