第41讲 模型3 圆与相似三角形相结合模型-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第41讲 | 圆中的常见模型 模型三　圆与相似三角形相结合模型 A型 反A型 双垂直结构 结论：△ACO∽ △ADB. 结论：△ACO∽ △ABD. 结论：CD2＝AD•DB； AC2＝AD•AB； CB2＝BD•AB. 学霸中考·数学 弦切角模型 相交弦模型 双割线模型 条件：BC为⊙O的切线，AB是直径． 结论：BC2＝CD•CA； BD2＝AD•CD； AB2＝AD•AC. 条件：BC为⊙O的切线． 结论：BC2＝CD•CA. 可证△CAE∽△BDE， ⇒ ⇒EC•ED＝EA•EB. 可证△CEG∽△CHF， ⇒ ⇒CE•CF＝CG•CH. 学霸中考·数学 【针对训练3】 4.(2022湘潭)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD. (1)求证：△AEC∽△DEB； (2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． (1)证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB， ∴△AEC∽△DEB. (2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. 在Rt△ADB中，∠B＝∠C＝30°， ∴AB＝2AD＝6. ∴⊙O的半径为3. 学霸中考·数学 5.如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D是弧BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC，连接AD，BD，CD.求证：△ABD∽△ADE. 证明：连接OD. ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE. ∵DE∥BC， ∴OD⊥BC，∠ACB＝∠AED. ∴∠BAD＝∠DAE. ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠AED. ∴△ABD∽△ADE. 答图 学霸中考·数学 6.(2022张家界)如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是 的中点，延长AD交BC的延长线于点E. (1)求证：CE＝CD； (2)若AB＝3，BC＝ ，求AD的长． (1)证明：连接AC. ∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠ACE＝90°. ∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB. ∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACB(ASA)． ∴CE＝CB.∴CE＝CD. 答图 (2)解：由(1)得，△ACE≌△ACB. ∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠ADC＋∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE. ∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA. 解得DE＝2. ∴AD＝AE－DE＝3－2＝1. 学霸中考·数学 7.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，延长EM交BA的延长线于点F，且FA＝FM. (1)求证：直线BF与半圆O相切； (2)若AB＝3，求BD•BC的值． (1)证明：连接AO. ∵FE⊥BC，∴∠CEM＝90°. ∴∠C＋∠CME＝90°. ∵FA＝FM， ∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME. ∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC. ∴∠FAM＋∠OAC＝90°. ∴∠OAF＝90°.∴OA⊥BF. ∵OA是半径， ∴直线BF与半圆O相切． 答图 (2)解：连接AD. ∵CD是直径，∴∠DAC＝90°. ∴∠C＋∠ADC＝90°. ∵∠BAO＝90°，∴∠BAD＋∠OAD＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠BAD＋∠ADC＝90°. ∴∠BAD＝∠C. ∵∠B＝∠B， ∴△BAD∽△BCA. ∴BD•BC＝BA2＝9. 学霸中考·数学 8.(2022黄冈)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G. (1)求证：AB＝AC； (2)若DG＝BC＝16，求AB的长． (1)证明：∵EF是⊙O的切线， ∴DA⊥EF. ∵BC∥EF， ∴DA⊥BC. ∵DA是直径， ∴AB＝AC. (2)解：连接DB. ∵DA⊥BC， ∴∠ABG＝∠BDG.∴△ABG∽△BDG. 解得AG＝4. 在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4， 答图 学霸中考·数学 9.(2022广安)如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD. (1)求证：CD是⊙O的切线． (2)若tan∠BED＝ ，AC＝9，求⊙O的半径． (1)证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB. ∵∠BDC＝∠A， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°， 即∠ODC＝90°. ∴OD⊥CD. ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． 答图 (2)解：∵∠A＝∠BED， ∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD， ∴△