第40讲 模型2 正方形中的“十字”模型-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第40讲 | 与四边形有关的问题 模型二　正方形中的“十字”模型 已知 图形 结论 如图，在正方形ABCD中，在AD，DC上分别取点F，E. 若BF⊥AE，则BF＝AE； 若BF＝AE，则BF⊥AE. 如图，在正方形ABCD中，在AB，BC，CD，AD上分别取点E，F，G，H. 若EG⊥FH，则EG＝FH； 若EG＝FH，则EG⊥FH. 学霸中考·数学 温馨提示： “十字”模型的前提条件是在正方形的对边取点连线．如右图，虽然HF⊥EG，但由于EG(或HF)并不是对边取点所连线段，所以HF并不一定等于EG. 学霸中考·数学 【针对训练2】 7.如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G. (1)求证：AE⊥BF； (2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF(如图2)，延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值． (1)证明：∵E，F分别是正方形 ABCD边BC，CD的中点， ∴CF＝BE. 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE＝∠CBF. 又∵∠BAE＋∠BEA＝90°， ∴∠CBF＋∠BEA＝90°. ∴∠BGE＝90°.∴AE⊥BF. (2)解：由题意，得FP＝ FC，∠FPB＝∠C＝90°， ∠CFB＝∠PFB. ∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF. ∴∠ABF＝∠PFB.∴QF＝QB，设FP＝k，则PB＝2k. 在Rt△BPQ中，设BQ＝x， 由勾股定理，得PQ2＋PB2＝BQ2，即(x－k)2＋4k2＝x2， 解得x＝ k. 学霸中考·数学 8.如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求MN的长． 解：如图，过点M作MG⊥CD于点G，连接DE，交MG于点I. 则由题意可知MG＝BC＝CD. 在Rt△DCE中，∠C＝90°，CE＝4，CD＝8， 由勾股定理，得 由折叠可知，DE⊥MN，∴∠EDC＋∠MND＝90°. ∵∠NMG＋∠MND＝90°，∴∠NMG＝∠EDC. 在△MNG与△DEC中， ∴△MNG≌△DEC(ASA)． 答图 学霸中考·数学 9.(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边AD，CD上，且BE⊥AQ.求证：BE＝AQ； (2)如图2，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接BE，M为BE上一点，过点M作GF⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：BE＝FG； (3)如图3，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AD，CD，BC，AB上，EF⊥GH，求证：EF＝GH； 证明：(1)∵BE⊥AQ， ∴∠AEB＝90°－∠DAQ＝∠DQA. 又∵AB＝DA，∠BAE＝∠ADQ＝90°， ∴△ABE≌△DAQ(AAS)． ∴BE＝AQ. (2)如答图1，过点G作GP⊥BC于点P. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°. ∴四边形ABPG是矩形． ∴PG＝AB＝BC，∠FPG＝90°＝∠C. ∵GF⊥BE， ∴∠PGF＋∠GFP＝∠CBE＋∠GFP＝90°. 答图1 ∴∠PGF＝∠CBE. 在△PGF和△CBE中， ∴△PGF≌△CBE(ASA)．∴BE＝FG. (3)如答图2，作BM∥EF交AD于点M， 作AN∥GH交CD于点N， ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AGHN、 四边形BMEF都是平行四边形． ∴BM＝EF，AN＝GH. ∵EF⊥GH，∴BM⊥AN. 由(1)知，BM＝AN，∴EF＝GH. 答图2 学霸中考·数学 (4)将边长为10 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你在图4中画出折痕MN，则MN的长是 cm；线段DM的长是 cm. 解：如答图3，画出折痕MN如图所示． ∵E为DC的中点， ∴DE＝5 cm. ∵MN⊥AE，由(2)可知， 设DM＝x cm，则AM＝ME＝(10－x)cm. 在Rt△DME中，DM2＋DE2＝ME2， 答图3 学霸中考·数学 $