第40讲 模型1 半角模型-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第40讲 | 与四边形有关的问题 模型一　半角模型 已知 图形 结论 如图，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°. MN＝BM＋DN； C△MNC＝2AB. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠DAE＝45°. BD2＋CE2＝DE2. 如图，△ABC为等边三角形，DB＝DC且∠BDC＝120°，∠EDF＝60°. EF＝BE＋CF. 学霸中考·数学 温馨提示： (1)常见应用：顶角为特殊角(常见90°，120°)的等腰三角形；平行四边形(常考正方形)． (2)解题方法：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，证明三角形全等并利用全等的性质得出线段之间的关系，从而解决问题. 学霸中考·数学 【针对训练1】 1.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. (1)求证：△AEM≌△ANM； (2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长． (1)证明：由旋转的性质得△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°. ∴∠ABC＋∠ABE＝180°. ∴E，B，C三点共线． ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°. ∴∠MAE＝∠MAN. ∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM(SAS)． (2)解：设CD＝BC＝x， 则CM＝x－3，CN＝x－2. ∵△AEM≌△ANM， ∴EM＝MN. ∵BE＝DN， ∴MN＝BM＋DN＝5. ∵∠C＝90°， ∴MN2＝CM2＋CN2. ∴52＝(x－3)2＋(x－2)2， 解得x＝6或－1(舍去)． ∴正方形ABCD的边长为6. 学霸中考·数学 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ． 【解析】取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于点H，延长CB至点G，使BG＝MH，连接AG， ∵点M，点N是AD，BC的中点， ∴AM＝MD＝BN＝NC＝4. ∵AD∥BC，∴四边形ABNM是平行四边形， ∵AB＝AM＝4，且∠BAD＝90°， ∴四边形ABNM是正方形． ∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°. ∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH， ∴△ABG≌△AMH(SAS)． ∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH. ∵∠EAF＝45°，∴∠MAH＋∠BAE＝45°. ∴∠GAB＋∠BAE＝∠EAG＝∠EAH＝45°. 答图 又∵AG＝AH，AE＝AE， ∴△AEG≌△AEH(SAS)． ∴EH＝GE. ∴EH＝2＋MH. 在Rt△HEN中，EH2＝NH2＋NE2， ∴(2＋MH)2＝(4－MH)2＋22. ∵MN∥CD，∴△AHM∽△AFD. 学霸中考·数学 3.如图，正方形ABCD的边长为3，点M在CB的延长线上，点N在DC的延长线上，∠MAN＝45°.若BM＝1，则MN的长为______． 【解析】如答图，在DN上截取DE＝BM，连接AE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°. 在△ABM与△ADE中， ∴△ABM≌△ADE(SAS)． ∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD. ∵∠MAN＝45°＝∠MAB＋∠BAN， ∴∠DAE＋∠BAN＝45°. ∴∠EAN＝90°－45°＝45°＝∠MAN. 5 答图 在△AMN和△AEN中， ∴△AMN≌△AEN(SAS)．∴MN＝EN. 设MN＝EN＝x， ∵BM＝DE＝1，BC＝CD＝3， ∴DN＝DE＋EN＝x＋1，CM＝3＋1＝4. ∴CN＝EN－CE＝x－2. 在Rt△MCN中，MC2＋CN2＝MN2， 即42＋(x－2)2＝x2，解得x＝5. ∴MN＝5. 故答案为：5. 学霸中考·数学 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝1，CN＝3，则MN的长为_______． 【解析】将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF. ∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF，∠2＝∠3. ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°.∴∠B＝∠ACB＝45°. ∵∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠1＋∠3＝∠1＋∠2＝90°－45°＝45°. 在△MAN和△FAN中， ∴△MAN≌△FAN(SAS)． ∴MN＝NF. ∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FCN＝90°. ∵CF＝BM＝1，CN＝3， 答图 学霸中考·数学 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝