第39讲 模型4 母子型相似与射影定理-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第39讲 | 相似模型 模型四　母子型相似与射影定理 已知 图形 结论 如图，∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或AB2＝BD•BC. △BAD∽△BCA. 如图，BA⊥AC，AD⊥BC. △ADC∽△BDA，AD2＝BD•CD； △BAC∽△BDA，BA2＝BD•BC； △CDA∽△CAB，CA2＝CD•CB. 如图，BC与⊙O相切于点B. △CBD∽△CAB，CB2＝CD•CA. 学霸中考·数学 【针对训练4】 12.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，求AC 的长． 解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D， ∴CD＝BD＝3. ∴∠B＝∠DCB，AB＝AD＋BD＝5. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠ACD＝∠B. 又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC. 即AC2＝AD•AB＝2×5＝10. 学霸中考·数学 13.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于点D，AC＝2 cm，AD∶DB＝4∶1，求CD的长． 解：连接BC. 设AD＝4x，则DB＝x. ∴AB＝5x. ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°. 又CD⊥AB，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. ∴AC2＝AD•AB， 答图 学霸中考·数学 14.如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝4，AE＝8. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)求证：OC2＝OE•OP； (3)求线段EG的长． (1)证明：连接OD. ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO. ∵∠DAF＝∠DAB， ∴∠ADO＝∠DAF.∴OD∥AF. 又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD. ∴DF是⊙O的切线． 答图 (2)证明：由(1)得DF⊥OD， ∴∠ODF＝90°. ∵AB⊥CD，∴由射影定理得OD2＝OE•OP. ∵OC＝OD，∴OC2＝OE•OP. (3)解：连接DG. ∵AB⊥CD， ∴DE＝CE＝4. ∴CD＝DE＋CE＝8. 设OD＝OA＝x，则OE＝AE－OA＝8－x. 在Rt△ODE中，由勾股定理得 OE2＋DE2＝OD2， 即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5. ∴CG＝2OA＝10. ∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°. 学霸中考·数学 【解析】连接EG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，DC＝AB＝4. 由题意得EF＝DE＝EC＝2，∠EFG＝∠D＝90°. 在Rt△EFG和Rt△ECG中， ∴△EFG≌△ECG(HL)． ∴FG＝CG，∠FEG＝∠CEG. 同理可得，AF＝AD＝2，∠FEA＝∠DEA， 答图 学霸中考·数学 $