第39讲 模型3 一线三等角相似模型-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第39讲 | 相似模型 模型三　一线三等角相似模型 已知 图形 结论 如图，∠A＝∠BCE＝∠D. (同侧) △ABC∽△DCE. 如图，∠1＝∠2＝∠CAE. (异侧) △ABC∽△EDA. 如图，∠A＝∠DCE＝∠B＝90°. (同侧) △ADC∽△BCE. 如图，∠B＝∠CDE＝∠ACE＝90°. (异侧) △ECD∽△CAB. 学霸中考·数学 【针对训练3】 【解析】过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D， 则∠ACO＝∠ODB＝90°. ∴∠AOC＋∠OAC＝90°. ∵OA⊥OB，∴∠AOC＋∠BOD＝90°. ∴∠OAC＝∠BOD. ∴△AOC∽△OBD. －3 答图 ∵y＝(x＞0)的图象在第四象限，∴k＝－3. 故答案为：－3. 学霸中考·数学 【解析】过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＋∠AOC＝90°. 又∵∠AOC＋∠OAC＝90°， ∴∠BOD＝∠OAC. ∴△BOD∽△OAC. 答图 学霸中考·数学 【解析】当点B在直线AO下方时，过点A作AE⊥OB于点E， 作EM⊥x轴于点M，作AN⊥ME交ME的延长线于点N. 则△ANE∽△EMO. 设AN＝a，则OM＝3＋a， ∵MN＝4， ∴EM＝2，OM＝4. ∴E(4，2)． 答图 学霸中考·数学 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2，0)． (1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ； (2)设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 ． 【解析】(1)当直线AB经过点C时，点A与点C重合， 当x＝2时，y＝－2＋m＝0，即m＝2， ∴直线AB的解析式为y＝－x＋2，则B(0，2)． 设点O到直线AB的距离为d， 答图 (2)由y＝－x＋m可得A(m，0)，B(0，m)． ∴OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°. ∵∠OPA＝∠PBA＋∠PAB＝∠OPC＋∠CPA， 又∵∠CPA＝∠ABO，∴∠OPC＝∠BAP. 在y轴负半轴上取点D，使OD＝ OC＝2，连接CD. 则∠PDC＝∠ABO＝45°. 则△PCD∽△APB， 解得m＝12. 故答案为：12. 12 学霸中考·数学 11.如图，二次函数y＝mx2＋(m2－m)x－2m＋1的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1. (1)求二次函数的解析式及点A，B的坐标； (2)若P(0，t)(t<－1)是y轴上一点，Q(－5，0)，将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E.当点E恰 好在该二次函数的图象上时，求t的值； (3)在(2)的条件下，连接AD，AE.若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标． 解：(1)∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 解得m1＝－1，m2＝0(舍去)． ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. ∴A(－1，0)，B(3，0)． (2)如答图1，过点E作EH⊥y轴于点H， ∵∠PQO＋∠OPQ＝90°，∠OPQ＋∠HPE ＝90°，∴∠HPE＝∠PQO. 由旋转知，PQ＝PE， 在△EPH和△PQO中， ∴△EPH≌△PQO(AAS)． ∴EH＝OP＝－t，HP＝OQ＝5.∴E(－t，5＋t)． ∵点E在该二次函数的图象上，∴5＋t＝－t2－2t＋3. 解得t1＝－2，t2＝－1(舍去)．∴t＝－2. 答图1 (3)由(2)得，E(2，3)．∵A(－1，0)，∴∠EAB＝45°. 由(1)得，D(1，4)，∴DF＝4，FA＝2. 设点M(a，－a2＋2a＋3)， ①点M在x轴上方，如答图2，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作 DF⊥x轴于点F.则MN＝a，NC＝3－(－a2＋2a＋3)＝a2－2a. ∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB， ∴∠MCN＝∠DAF.∴△MCN∽△DAF. ②点M在x轴下方，如答图3，过点M作MN⊥y轴于点N， 过点D作DF⊥x轴于点F. ∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB， ∴∠ADF＝180°－90°－45°－∠DAE＝45°－ ∠DAE，∠MCN＝∠OCB－∠MCB＝45°－∠MCB. ∴