第36讲 模型5 倍长中线、类中线[已知一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍长(类)中线法构造全等三角形]-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题二 模型专题 第36讲 | 与中点有关的问题 模型五　倍长中线、类中线 [已知一边上的中点(中线或与中点有关的 线段)，考虑倍长(类)中线法)构造全等三角形] 已知 图形 结论 如图，在△ABC中，AD是中线，延长AD到点E，使得DE＝AD，连接BE. △ACD≌△EBD. 如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，延长ED到点F，使得DF＝ED，连接CF. △BDE≌△CDF. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD中点，延长AE交BC的延长线于点F. △ADE≌△FCE. 学霸中考·数学 【针对训练5】 7.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． (1)求证：△ABD≌△ECD. 证明：延长AD到点E，使DE＝AD. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD( )． (2)由(1)的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ． 对顶角相等 CD SAS 【解析】(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，∴CE＝AB＝6. 由三角形三边关系，得8－6<AE<8＋6，即2<2AD<14.∴1<AD<7. 故答案为：1<AD<7. 1<AD<7 学霸中考·数学 8.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接MD，ME.若∠EMD＝90°，则cos B的值为 ． 【解析】延长DM交CB的延长线于点H，连接DE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝2，AD∥CH.∴∠ADM＝∠H. ∵AM＝BM，∠AMD＝∠BMH，∴△ADM≌△BHM(AAS)． ∴HB＝AD＝2，HM＝DM. ∵EM⊥DH，∴EH＝ED. 设BE＝x，则DE＝EH＝HB＋BE＝2＋x. ∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°. 由勾股定理得AE2＝AB2－BE2＝DE2－AD2，即22－x2＝(2＋x)2－22. 答图 学霸中考·数学 9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC.求证： (1)AE⊥BE； (2)E是线段CD的中点． 证明：(1)∵AD∥BC， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠AEB＝90°. ∴AE⊥BE. (2)延长AE交BC的延长线于点M. ∵∠AEB＝∠BEM＝90°，BE＝BE，∠ABE＝∠CBE， ∴△ABE≌△MBE(ASA)． ∴AE＝ME. ∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECM. ∴ADE≌△MCE(AAS)． ∴DE＝CE，即E是线段CD的中点． 答图 学霸中考·数学 故答案为：. ∴x＝－1或－－1(舍去)． 在Rt△ABE中，cos B＝＝. 在△ADE和△MCE中， ∴∠EAB＝∠DAE＝∠BAD， ∠ABE＝∠CBE＝∠ABC. ∴∠EAB＋∠ABE＝(∠BAD＋∠ABC)＝90°. $