第32讲 32.4 圆与四边形结合-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题一 题型专题 第32讲 | 圆综合题专题 32.4　圆与四边形结合 1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED.连接BC，CD.求证： (1)△AOE≌△CDE； (2)四边形OBCD是菱形． 证明：(1)在△AOE和△CDE中， ∴△AOE≌△CDE(SAS)． (2)∵△AOE≌△CDE， ∴OA＝CD，∠AOE＝∠D. ∴OB∥CD. ∵OA＝OB， ∴OB＝CD. ∴四边形OBCD为平行四边形． ∵OB＝OD， ∴四边形OBCD是菱形． 学霸中考·数学 2.(2022福建)如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF. (1)求证：AC＝AF； (1)证明：∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形． ∴∠B＝∠D. ∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF. ∴AC＝AF. (2)解：连接AO，CO. 由(1)得∠AFC＝∠ACF. ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°. 答图 学霸中考·数学 3.(2022盘锦)如图，四边形ABCD是正方形，点A，B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB. (1)求证：BG与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为1，求AF的长． (1)证明：连接BE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE＝∠BAD＝90°. ∴BE是⊙O的直径． ∵∠BAF＋∠EAF＝90°， ∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB， ∴∠FBG＋∠EBF＝90°， 即∠OBG＝90°. ∴BG是⊙O的切线． 答图 (2)解：如图，连接OA，OF. ∵DB是正方形ABCD的对角线， BE是⊙O的直径， ∴∠FDE＝45°，∠EFD＝90°. ∴∠FED＝45°. ∴∠AOF＝90°. 在Rt△AOF中，OA＝OF＝1， 学霸中考·数学 4.如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD. (1)求证：AF∥OD； (2)若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长． (1)证明：延长DO交AB于点H. ∵DP是⊙O的切线， ∴OD⊥DP. ∵AB∥DP， ∴HD⊥AB，即∠DHB＝90°. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°＝∠DHB. ∴AF∥OD. 答图 (2)解：∵OH⊥AB，AB＝8， ∴BH＝AH＝4. ∵OB＝OD＝5， ∵BH∥ED， ∴△BOH∽△EOD. ∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP， ∴四边形AFDH为矩形． ∴DF＝AH＝4. 学霸中考·数学 (2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长(结果保留π)． ∵∠AFC＝＝75°， ∴的长为＝. ∴AF＝＝＝. ∴EF＝ED－DF＝－4＝. ∴OH＝＝＝3. ∴＝，即＝， 解得ED＝. $