第32讲 32.3 圆与相似、三角函数结合-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题一 题型专题 第32讲 | 圆综合题专题 32.3　圆与相似、三角函数结合 1.(2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值． 解：(1)如图所示，线段OD，CD即为所求． 答图 (2)如图，设AC与OD相交于点E，连接OC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6， ∵OD⊥AC， ∴AE＝CE＝ AC＝4. 又OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线． ∴OE＝ BC＝3， 即点O到AC的距离为3. 在Rt△CDE中， ∵DE＝OD－OE＝5－3＝2，CE＝4， 学霸中考·数学 2.(2022呼和浩特)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE. (1)求证：BD＝CD； (1)证明：连接AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵AB＝AC， ∴BD＝DC. 答图 (2)解：∵BD＝DC＝4， ∴BC＝DB＋DC＝8. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°. ∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CDA∽△CEB. 学霸中考·数学 3.(2022百色)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD. (1)求证：MC是⊙O的切线； (2)若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值． (1)证明：∵AD⊥MC， ∴∠D＝90°. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC. ∵AC平分∠MAD， ∴∠DAC＝∠OAC. ∴∠OCA＝∠DAC. ∴OC∥DA. ∴∠D＝∠OCM＝90°. ∵OC是⊙O的半径， ∴MC是⊙O的切线． (2)解：∵AB＝4， ∴OM＝OB＋BM＝6. ∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°， ∴△MCO∽△MDA. ∵∠MAC＝∠DAC， 学霸中考·数学 4.(2022玉林)如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值． 证明:(1)连接OD. ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠EAD. ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD. ∴∠ODA＝∠EAD. ∴OD∥AE. ∵EF⊥AE， ∴EF⊥OD. ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线． 答图 (2)连接BC，交OD于点H. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵AB＝10，AC＝6， ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴BC∥EF. ∵EF⊥OD. ∴OD⊥BC. ∵CH＝BH，OA＝OB， ∴DH＝5－3＝2. ∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°， ∴四边形ECHD是矩形． ∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2. ∴AE＝6＋2＝8. ∵∠DAB＝∠DAE， 学霸中考·数学 5.(2022雅安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC； (2)证明：过点O作OF⊥AB于点F. ∵AO是△ABC的角平分线， OF⊥AB，OC⊥AC， ∴OF＝OC，即OF是⊙O的半径． ∴AB是⊙O的切线． 答图 (2)证明：∵ED是⊙O的直径， ∴∠DCE＝90°. ∴∠EDC＋∠DEC＝90°. ∵OE＝OC， ∴∠DEC＝∠ECO. ∵∠ACE＋∠ECO＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠EDC. ∵∠EAC＝∠CAD， ∴△ACE∽△ADC. ∴AC2＝AE•AD. 设AE为a，则AC＝2a， AD＝a＋12， ∴(2a)2＝a(a＋12)． ∴a1＝4，a2＝0(舍去)． ∴AC＝8. 学霸中考·数学 ∴sin∠ACD＝＝＝. ∴AB＝＝10. ∴CD＝＝＝2. 解得CE＝. ∴AE＝CE－AC＝－2＝. 在Rt△ADC中，tan C＝， ∴AD＝CD•tan C＝4×＝2. ∴AC＝＝＝2. (2)若tan C＝，BD＝4，求AE. ∴＝. 即＝. ∴＝＝. ∴MD＝，AD＝. ∴CD＝MD－MC＝. ∴tan∠MAC＝tan∠DAC＝＝＝. ∴OC＝OB＝AB＝2. 在Rt△OCM中，MC＝＝＝4. ∴＝＝. ∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝. ∴BC＝＝ ＝8. ∴CH＝BC