第32讲 32.2 圆与全等三角形结合-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

第二轮 能力提升 专题一 题型专题 第32讲 | 圆综合题专题 32.2　圆与全等三角形结合 1.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B.求证：PB是⊙O的切线． 证明：连接OB. ∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A， ∴∠PAO＝90°. ∵OA＝OB，AB⊥OP， ∴∠POA＝∠POB. ∴△PAO≌△PBO(SAS)． 答图 ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， 即OB⊥PB. ∴PB是⊙O的切线． 学霸中考·数学 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED. (1)求证：BD＝ED； (2)若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值． (1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝∠DCE. ∵∠1＝∠2， ∴AD＝CD. ∴△ABD≌△CED(SAS)． ∴BD＝ED. (2)解：过点D作DM⊥BE于点M. ∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB， ∴BE＝BC＋EC＝10. ∵BD＝ED，DM⊥BE， ∴CM＝BC－BM＝1. ∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2， ∴∠2＝30°. 答图 学霸中考·数学 3.(2022齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF. (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积． (1)证明：连接BD. ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵AB∥CF， ∴∠ABC＝∠FCB. ∴∠ACB＝∠FCB. 在△DCB和△FCB中， ∴△DCB≌△FCB(SAS)． ∴∠F＝∠BDC＝90°. 答图 ∵AB∥CF， ∴∠ABF＋∠F＝180°. ∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF. ∵AB为直径， ∴BF是⊙O的切线． (2)解：连接OE，交BD于点M，连接AE. ∵AB是直径， ∴AE⊥BC，AD⊥BD. ∵∠BAC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形． ∴OE是△ACB的中位线． ∴OE∥AC. ∴S阴影部分＝S扇形BOE－S△BOE 学霸中考·数学 4.(2022内江)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF. (1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积． 解：(1)直线AF与⊙O相切．理由如下： 连接OC. ∵PC为⊙O切线，∴CP⊥OC. ∴∠OCP＝90°. ∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B. ∴∠AOF＝∠COF. 在△AOF和△COF中， ∴△AOF≌△COF(SAS)． ∴∠OAF＝∠OCF＝90°.∴AF⊥OA. ∵OA为⊙O的半径， ∴AF为⊙O的切线． 答图 (2)∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC， ∴∠AOF＝30°. ∴AC＝2AE＝6. (3)由(2)知∠AOF＝30°. ∵∠AOF＝∠COF， ∴∠AOC＝60°. ∵∠OCP＝90°， 学霸中考·数学 ∴DM＝BM·tan∠2＝5×＝. ∴tan∠DCB＝＝. 在△ABD和△CED中， ∴＝. ∴BM＝ME＝BE＝5. ∴∠BOE＝∠BAC＝45°， OE⊥BD，＝＝. ∴BM＝BD＝×4＝2. ＝－×2×2 ＝π－2. ∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4. ∴OA＝OB＝OE＝2，AC＝AB＝4. ∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝＝＝. ∴AE＝OA＝3. ∴CP＝OC•tan 60°＝6×＝6. ∴S阴影部分＝S△OCP－S扇形AOC＝×6×6－＝18－6π. (2)若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； ∴AE＝CE＝AC. $