第31讲 31.5 运动轨迹及最值问题-【翰庭学霸】2023中考数学配套课件（广东专版）

考情分析 针对训练 目录 CONTENTS 温馨提示 | 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 第二轮 能力提升 专题一 题型专题 第31讲 | 填空题压轴题专题 31.5　运动轨迹及最值问题 考点 近7年分值情况 考查方向 考查频率 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 轨迹 为圆 — — — — 4 4 — 直线三角形斜边上的中线；隐圆问题 2次 轨迹为线段 — — — — — — — 0次 学霸中考·数学 1.(2022滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O(如图1)，如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F(如图2)，连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是( ) A.线段 B.圆弧 C.折线 D.波浪线 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB. ∵∠AOB＝∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF. ∴△AOE≌△BOF(ASA)． ∴AE＝BF. 设AE＝BF＝a，则F(a，0)，E(0，1－a)． ∵EG＝FG， ∴点G的运动轨迹是线段． 故选：A. 答图 A 学霸中考·数学 2.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，AB＝4，BC＝1.当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，运动过程中矩形ABCD的形状保持不变，则点D与点O的最大距离是 ． 【解析】如图，取AB的中点E，连接OE，DE，OD. ∵OD≤OE＋DE， ∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大． 此时，∵AB＝4，BC＝1， 答图 学霸中考·数学 3.如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【解析】连接OP. ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°. ∵AO＝BO， ∴AB＝2PO. 若要使AB取得最小值，则需PO取得最小值． 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值． 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6，MQ＝8. ∴OM＝10. 又MP′＝4，∴OP′＝6. ∴AB＝2OP′＝12. 故答案为：12. 答图 12 学霸中考·数学 4.(2022通辽)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB＝ ，BC＝3，点P从点B出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为 ． 【解析】如图，取AB的中点J. ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°. ∴∠ABP＋∠CBP＝90°. ∵∠BAP＝∠CBP， ∴∠BAP＋∠ABP＝90°. ∴∠APB＝90°. ∴点P在以AB为直径的⊙J上运动， 当J，P，C三点共线时，PC的值最小． 答图 学霸中考·数学 5.(2022辽宁)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是 ． 【解析】∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE， ∴BF＝BA＝10. ∴点F在以点B为圆心，10为半径的圆上运动． ∴当点G，F，B三点共线时，GF最小． 连接EG，设AE＝x，则EF＝x，DE＝10－x. 由勾股定理得BG＝5. ∵S梯形ABGD＝S△EDG＋S△ABE＋S△EBG， 答图 学霸中考·数学 6.如图，点E 是正方形ABCD 内的一动点，且∠AEB＝90°，若AB＝4，则DE 的最小值是 ． 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝4. ∵∠AEB＝90°， 取AB中点O，则点E在以AB为直径的⊙O上，连接OE，DE. 则OA＝OE＝2. 当点O，E，D在同一条直线上时，DE最小， 答图 学霸中考·数学 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P，Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2.当BP＝ 时，四边形APQE的周长最小． 【解析】∵在四边形APQE中，AE和PQ的长是定值， ∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP＋QE最小即可． 如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于点Q，连接FQ，过点A作FQ的平行线交BC于点P，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H.此时AP＋QE的值最小． 则GH＝DF＝8－2＝6，