精品解析：上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上期中 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________． 2. 已知为等差数列，若则______. 3. 正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为，则该正棱锥的侧棱长为______． 4. 教材 10.3.4 两个平面平行的判定定理∶"如果一个平面上的________与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 5. 圆柱的轴截面面积为24，底面半径为4，则其体积为__________.（结果保留） 6. 正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有____条. 7. 计算：___________. 8. 已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________. 9. 如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________． 10. 已知圆锥顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 11. 如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为___________. 12. 正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 对于直线和平面，"直线不在平面上"是""（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知数列，下列说法正确的是（ ） A. 有最大项，但没有最小项 B. 没有最大项，但有最小项 C. 既有最大项，又有最小项 D. 既没有最大项，也没有最小项 15. 用平面截正方体，截面不可能是（ ） A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正五边形 D. 正六边形 16. 四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 已知长方体中，分别是和的中点. （1）画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） （2）若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 18. 已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足. （1）求证：平面 （2）求棱台体积和表面积. 19. 已知公比大于1的等比数列满足 （1）求的通项公式； （2）求 20. 如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小（精确到0.01）. 21. 设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为. （1）时，求的取值范围； （2）时，求取值范围； （3）时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上期中 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可. 【详解】由题可得该正四棱柱的体积为. 故答案为：16. 2. 已知为等差数列，若则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项的性质，再把已知两个等式两边分别相加求即可. 【详解】由等差中项性质得 故，所以. 故答案为：. 3. 正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为，则该正棱锥的侧棱长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据勾股定理求出即可. 【详解】如图所示，是一个正四棱锥， ，且有， 侧棱与底面所成角为， 所以，所以侧棱， 故答案为： 4. 教材 10.3.4 两个平面平行的判定定理∶"如果一个平面上的________与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 【答案】两条相交直线 【解析】 【详解】略 5. 圆柱的轴截面面积为24，底面半径为4，则其体积为__________.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的轴截面面积及底面半径求得圆柱的高，再求其体积 【详解】如图，平面是圆柱的轴截面，是一个矩形，过圆柱的轴AB， 在矩形中，，， 所以， 所以. 故答案为：. 6. 正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有____条. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方体的图形以及异面直