专题11 相似三角形的综合问题（重点突围）-备战2023年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）

专题11 相似三角形的综合问题 【中考考向导航】 目录 【直击中考】 1 【考向一 (双)A字型相似】 1 【考向二 (双)8字型相似】 8 【考向三 母子型相似】 16 【考向四 旋转相似】 24 【考向五 K字型相似】 37 【直击中考】 【考向一 (双)A字型相似】 例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【变式训练】 1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________． 2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：． 3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习） 中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，点D在边上，且． （1）求证：； （2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数． （3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长． 【考向二 (双)8字型相似】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF． （1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 【变式训练】 1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD． （1）求证：AN＝CM； （2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长； （3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k． 5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 【考向三 母子型相似】 例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【变式训练】 1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA． 3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积， (3)若，请直接写出的值为______． 4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【考向四 旋转相似】 例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，＝______； ②当时，＝______； (2)拓展探究 试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；