重难点06 函数与几何压轴大题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）

2023年中考数学【热点·重点·难点】专练 （江苏专用） 重难点06 函数与几何压轴大题 【命题趋势】 首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结． 【满分技巧】 1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点 1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）； 2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）； 3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题） 2.二次函数的压轴题主要考向 1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）。 2）最值问题（线段、周长、面积） 3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略 1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题 4）线段差——三角形三边关系或函数 5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法 A卷（真题过关卷） 备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练. 一、解答题 1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点横坐标为或或或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 2．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． (1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①，；②点的坐标为 【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上． 理由如下： 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， 设点的坐标